まずはX^4=Xの解を調べる。
X^4-X=0
X(X^3-1)=0
X(X-1)(X^2+X+1)=0
X=0,1,(-1±√3i)/2・・・※
方程式{F(x)}^2=F(x)を整理する。
F(x){F(x)-1}=0
F(x)=ax^3+bx^2+cxを上式に代入。
(ax^3+bx^2+cx)(ax^3+bx^2+cx-1)=0・・・※1
この方程式の解が※の4つすべて持つ条件を探す。
x=0のとき※1の左辺に代入すると、
（左辺）＝0*(-1)＝0＝（右辺）となり、a,b,cの値に関わらず解であることがわかる。
残り、x=1とx=(-1±√3i)/2を解に持つための条件を探す。
x=(-1±√3i)/2はx^2+x+1=0の解であるから、
x^2+2x+1が、※1の(ax^3+bx^2+cx)または(ax^3+bx^2+cx-1)のどちらかの因数であればよい。
場合分け。
（i）ax^3+bx^2+cがx^2+x+1を因数に持つ条件。→ax^3+bx^2+cがx^2+x+1で割り切れる条件。
（筆算で割り算してください）
結果、ax^3+bx^2+cx=(x^2+x+1){ax+(b-a)}+(c-b)x+a-bとなる。
よって、上記条件を満たすには余りがゼロにならないといけないから、
c-b=0,a-b=0
よって、a=b=c・・・※2
このときax^3+bx^2+cx=0はx^2+2x+1=0の解を持つ。
一方、残りの解x=1も※1の解であるためには、ax^3+bx^2+cx-1＝0の解がx=1であればいい。
よって、a+b+c-1=0・・・※3
※2、※3を両方満たすにはa=b=c=1/3・・・答え
（ii）（i）と逆パターン。
ax^3+bx^2+cx-1がx^2+2x+1を因数に持つ条件。
（筆算・・・）
結果、ax^3+bx^2+cx-1=(x^2+2x+1){ax+(b-a)}+(c-b)x-1+a-b
よって、c-b=0,-1+a-b=0
整理すると、b=c=a-1・・・※4
このときax^3+bx^2+cx-1=0はx^2+2x+1=0の解を持つ。
一方、残りの解x=1も※1の解であるためには、ax^3+bx^2+cx=0の解がx=1であればいい。
よって、a+b+c=0・・・※5
※4、※5を両方満たすには連立方程式を解いて、a=2/3,b=-1/3,c=-1/3・・・答え
