質問：割られる式の決定（大学受験）

質問

現在、「複素数と方程式」の分野を勉強していますが、わからない問題があります。これは、大学受験用参考書に載っている問題です。どなたか、おわかりになる方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。

問題は
x＾2+1で割ると3x+2余り、x＾2+x+1で割ると2x+3あまるようなxの整式のうちで、次数が最小のものを求めよ
です。

解答は、
整式P(x)を４次式（x＾2+1）（x＾2+x+1）で割ったときの商をQ(x),余りをR(x)とすると、P(x)をx＾2+1、x＾2+x+1で割ったときの余りは、それぞれ、R(ｘ)をx＾2+1、x＾2+x+1で割ったときの余りに等しいから、
求める次数が最小の整式は、このR(x)である。

私のネックは問題文の「次数が最小のもの」というところで、解答の最後の一行がわかりません。～等しいから、まではわかるのですが、だからといって、どうして、最後の一行につながるのかがわかりません。

私の勉強不足なのですが、質問する人がいないため、困っています。
どなたか、ご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また、説明不足の点があれば、補足させていただきますので、宜しくお願いいたします。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

「x＾2+1で割ると3x+2余り、x＾2+x+1で割ると2x+3余る」ってのを★と書きます。

P(x)=(x^2+1)(x^2+x+1)Q(x)+R(x)

と表されます。

R(x)、P(x)をx^2+1,x^2+x+1で割った余りが等しいので、

P(x)が★を満たすには、R(x)も★を満たさなければなりません。逆にR(x)が★を満たせばP(x)も★を満たします。

と、いうことは、R(x)が★を満たせばQ(x)は何でもいいということです。

ここでP(x)＝(x^2+1)(x^2+x+1)Q(x)+R(x)の次数を考えてみます。Q(x)=0の時は、R(x)の次数に等しく"３次以下"です。次にQ(x)≠0の時は、(x^2+1)(x^2+x+1)Q(x)の次数に等しく、"4次以上"になります。
つまり、P(x)の次数が最小になるのは、Q(x)＝０（⇔P(x)=R(x)）の時、になります。

お礼

eatern27様、一日に何度も御回答いただきありがとうございます。Q(x)=0のときと、Q(x)≠0でわけて考えるのですね。大変よくわかりました。先生に聞くよりも、聞きやすく、分かりやすく、早いです。本当にいつもありがとうございます。

また、お聞きすることもあると思いますが、宜しくお願いいたします。