ベクトルの証明

質問

不等式 |ａ↑＋ｂ↑|≦|ａ↑|＋|ｂ↑|を証明せよ。また、等号が成り立つのはどんな場合か。

このとき、解説には
a≠０ ｂ≠０のときとa＝０のときとb=0
と場合わけするとかいていますが、なぜですか。

そしてこの証明は何を結果的に示せば、証明できたということになるのでしょうか

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

(|a↑|+|b↑|)^2-|a↑+b↑|^2
=|a↑|^2+2|a↑||b↑|+|b↑|^2-(a↑+b↑,a↑+b↑)
=|a↑|^2+2|a↑||b↑|+|b↑|^2-|a↑|^2-2(a↑,b↑)-|b↑|^2
=2{|a↑||b↑|-(a↑,b↑)}

a↑=(a_1,a_2)
b↑=(b_1,b_2)
とすると
|a↑|^2=(a_1)^2+(a_2)^2
|b↑|^2=(b_1)^2+(b_2)^2
(a↑,b↑)=(a_1)(b_1)+(a_2)(b_2)

(|a↑|^2)(|b↑|^2)-(a↑,b↑)^2
={(a_1)^2+(a_2)^2}{(b_1)^2+(b_2)^2}-{(a_1)(b_1)+(a_2)(b_2)}^2
={(a_1)(b_2)-(a_2)(b_1)}^2
≧0
↓
|a↑||b↑|≧(a↑,b↑)
↓
(|a↑|+|b↑|)^2-|a↑+b↑|^2=2{|a↑||b↑|-(a↑,b↑)}≧0
↓
|a↑+b↑|^2≦(|a↑|+|b↑|)^2
↓
|a↑+b↑|≦|a↑|+|b↑|

r≧0
b↑=r(a↑)のとき
|a↑+b↑|=|a↑+r(a↑)|=(1+r)|a↑|=|a↑|+|r(a↑)|=|a↑|+|b↑|