相加平均・相乗平均の問題

質問

こんばんは～。相加平均相乗平均の問題です。

a＞０、ｂ＞０のとき、次の不等式を証明せよ。
また、等号が成り立つ場合を調べよ。

a+2/a ≧ 2√2

この問題の左辺≧右辺という証明まではできたんですが、
等号が成り立つ場合の証明ができませんでした。
参考書には

a=2/aより
√２となる。

と書いてありました。
この問題は不等号を等号に変えるだけで解けるはずなのに、
つまりa+2/a ＝ 2√2と等号に変えるだけでいいはずです。
でも、参考書の説明はいきなりa=2/aとなっているのですが、
これはどういうことなのでしょうか？

回答No.2

debut · ベストアンサー

a＞０、ｂ＞０のとき、ａ＋ｂ≧ 2√ａｂで
等号は　ａ＋ｂ＝２√ａｂ　で
２乗して因数分解すると　(ａ－ｂ)^2＝０よりａ＝ｂ
という結果を使っただけです。

もちろん、a+2/a ＝ 2√2を解いても
ａ^2－(２√２)ａ＋２＝０
(ａ－√２)^2＝０
ａ＝√２　です。

お礼

回答ありがとうございました。
＝で結んでも困ることがないのならそれでいいですね。
ほんとにありがとうございました

回答No.1

koko_u_

>a+2/a ＝ 2√2と等号に変えるだけでいいはずです。
うん。それでもイイよ。

模範解答は「相加相乗平均」の定石にそっているだけです。