||a+b|| ≦ ||a|| +||b||の証明

質問

任意のn次元ベクトルa、bについて、不等式

||a+b|| ≦ ||a|| +||b||

が成立することを証明しなさい。また、等号が成立するのはaとbにどのような関係がある場合かを答えなさい。

この証明の解説をどなたか教えて下さい。

回答No.4

k14i12d · ベストアンサー

|a|は絶対値ではなくノルムのつもりだったのですが。
||a||と書くのは面倒だったので笑
|a+b||a+b|
=|a+b|^2
=(a+b,a+b)
=(a,a)+2(a,b)+(b,b)
=|a|^2+2ab+|b|^2
だとまだ納得できないでしょうか？

回答No.7

中村 拓男（@tknakamuri）

A_NO5 です。

まず訂正　シュワルツの不等式 ⇒三角不等式ですね。すいません。

>一般のノルムについては、劣加法性は公理のひとつです。

たしかにそうですね。微分幾何のノルムの定義の方がなじみがあるので
こっちは失念してました。微分幾何のノルムでは三角不等式が
成り立たないノルムを定義できます。

回答No.6

alice_44

一般のノルムについては、劣加法性は公理のひとつです。
問題で、ノルムの具体的な構成を示していないのなら、
証明は「ノルムの定義により自明」で完了。
ノルム(らしきもの？)が具体的に与えられているなら、
それが確かにノルムであることを示すことになります。

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

このノルムってユークリッドノルム？

一般的なノルムに対してはシュワルツの不等式は
成立しません。もっと条件を狭めてください。

回答No.3

noname#199771

#1の補足にあるのが定義ですかね？
それなら
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%EF%BC%9D%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%AF%E3%83%AB%E3%83%84%E3%81%AE%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F
が参考になるかと。

回答No.2

noname#199771

||・||の定義によっては不等式が成り立たなかったり
証明の仕方が異なったりします。

この質問での||・||の定義は何ですか？

それと、「n次元ベクトル」って何ですか？

回答No.1

k14i12d

両辺正だから、2乗した両辺を比べても、一般性は失わないですね。以下扱う文字はすべてベクトルとする。
(左辺)=|a|^2+2ab+|b|^2
≦|a|^2+2|ab|+|b|^2
≦|a|^2+2|a||b|+|b|^2=(右辺)
よって題意は成り立つ。
等号は、それぞれの式変形に注目すると、
ab=|ab|=|a||b| が成り立てば十分。
つまり、aがbの正の実数倍の時であれば等号が成立する。

補足

k14i12dさん、回答有り難うございます。
左辺の変形がよくわかりません。
||a+b||の二乗
(√<a+b,a+b>)^2 = |a|^2+2ab+|b|^2
この変形がよくわかりません。どうしてa,bには絶対値？がついてabにはつかないのでしょうか？
よろしければ詳しく教えてください。