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大学の微分積分
難しいです。 lim(n→∞)a[n]=αならばlim(n→∞)1/n{a1+a2+...+an}=α この逆の定理は成立しないことを証明せよ。 宜しくお願いします。
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a_n=α+(-1)^n とすると lim_{n→∞}(Σ_{k=1～n}a_k)/n =lim_{n→∞}{Σ_{k=1～n}{α+(-1)^k}/n =lim_{n→∞}[α+Σ_{k=1～n}{(-1)^k}/n] =α n→∞ のとき a_n=α+(-1)^n は nが奇数のとき a_n=α-1 nが偶数のとき a_n=α+1 となって 振動し収束しない
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- B-juggler
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はい、お邪魔します。 えっと、σ(・・*)は無視ですか＞＜ 理屈は分かっているんだよね？ そして、必要条件のほう（右側）は、（１／ｎ）×Σ[ｎ＝ｋ：１～ｎ]ａ[ｋ] でいいんだね。 ＃平均していると考えていいわけだ。 ちゃんと見ましょうね。せっかく書いていただいているんだから。 逆を考えます。（つまり反例探し） lim(n→∞)1/n{a1+a2+...+an}=α ならば lim(n→∞)a[n]=α 今 a[n]=α＋（－１）＾ｎ とします。 ＃これは勝手に決めただけ。 左側（十分条件側）は ＞lim_{n→∞}(Σ_{k=1～n}a_k)/n ＞=lim_{n→∞}{Σ_{k=1～n}{α+(-1)^k}/n ＞=lim_{n→∞}[α+Σ_{k=1～n}{(-1)^k}/n] ＞=α 補足には、したから二行が分からないとあります。 おそらく、αはΣから出てくる？のと、Σの中が 何故０にできるか？ この二点だと思う。 αがなぜ外に出せるか？ から行きます。 これは簡単、要するに a[n]=α＋（－１）＾ｎ としているのだから、 足していけば、α×ｎ が出るね。 これをｎで割るのだから ＃つまり平均しているのだから。 Σの中にαを置いておく理由がない。 （１／∞）なんて考える必要もなく、ｎ個のαがあるのだから、足す必要はない！ と考えればいいです。 もう一点。 Ｌｉｍ（－１）＾ｎ ／ｎ ＝０ これもそんなに・・・。 これは （１／∞）で素直に ０ で構わない。 ＃もちろん、解析的にきちんととかないといけないけど。 ＃∞分の一 だから、ロピタルを一応考えてね。 これでいいかな？ 十分条件のほうは、α に収束することが見えてきました。 さて、必要条件側 右側ね。 a[n]=α＋（－１）＾ｎ としているから、 これは無限大に飛ばすと、αは消えないね。平均してないから。 （－１）＾ｎ も 遇奇で変わる。 よって命題は偽。 逆の命題は偽ですね。 分からないのなら、とにかく聴く。その前にやることはないか？ 分かるまで、考える。 この例では、何がどうなっているのかしっかり整理して考える。 分かろうと努力してみる。 数学の解答は、分かりきっていることはいちいち書かないからね。 この場合だって、分かりきっていることとみなして書かないのかもしれない。 じゃぁ、そこに何が書いてあるのか、しっかり見る。 時に、σ(・・*)のでは理解できないか？ まさかとは思うけど、数学科にいるんじゃないだろうね。 σ(・・*)みたいに、特に変な流れから数学に入らない限り、 解析のこの辺りは、必須だ。 ＃もちろん、σ(・・*)も、電気工学の次代にやったから、これくらいはできるよ。 「分かること」 ってね、「分ける」ことなんだ。 「分かる」のと「分からない」ことを仕分けする作業。 分からないことは徹底的に分かるように努力しないと。 怠っては、何も得るものはないと、しっかり心得てね。 分かろうとしないなんて、そもそも失格だからね。 (=^. .^=) ｍ（＿ ＿）ｍ (=^. .^=)
お礼
＞「分かること」 ってね、「分ける」ことなんだ。 「分かる」のと「分からない」ことを仕分けする作業。 分からないことは徹底的に分かるように努力しないと。 ありがとうございます。考え方を改める契機となりました。 最近bーjugglerさんの回答をみるのが楽しいです。 これからもよろしくお願いします。 よくう理解できました。 学科は電気電子です。
- B-juggler
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う～んと、返事がない＞＜ ちょっと考えているんだけど、σ(・・*)は代数学だから、そこまで強くはない。 もしかすると、解析が本業ではなく、電気工学でもこういうところはやりますからね。 数学ではない専攻で、こういう問題なら、丸投げしていい訳ではないけれど、 聞いて理解できればそれでいい、ってところも、少なからず。 だから、これが数列なのかどうか？ そこがはっきりしないから、答えにならないんだけど。 │・ω・`)＜コッショリ こういうときは Ｌｉｍ を無視してみる。 ＃σ(・・*)は実際にそんな風にやって乗り切った＾＾； そしたら、こんなことがいえる。 a[n]=αｎ ならば (1/n) × ｛a1+a2+・・・・・+an｝＝αｎ としてみる。 ならばの右、必要条件のところね。 これは 数列の和なんだろうと考える。 で、ｎ個あるを ｎ で割っているのだから、つまりは平均だ。 ならばの左、十分条件のところ。 これは 単に an=αｎ となりますよ ってことだ。 数列のｎ番目の値を αｎ としてみる。ならば ｎ番目までの平均は αｎ となります。 とこの命題は言っている、ってことね。 後は、これをＬｉｍで飛ばすだけ。 ただ、飛ばす前に考えておこう♪ この数列はどんな数列だ？？ 簡単にこんな風に考える。 ａ１＝α１＝１ ならば （１／１）・ａ１＝α１＝１ この命題が真なら、ａ１＝１ だろうと、推測する。 ではａ２＝α２＝？？ これ勝手に決めていいのだから、 ａ２＝２ としてしまう。 そうすると、ならばの右 ａ１＋ａ２＝３ ｎ＝２だから α２＝（３／２） ん？ダメだ！ どうすれば合うかなぁ～。 きらーん ａ２＝１ だな。 そうすると、ならばの右 ｎ＝２だから （１＋１）／２＝１＝α２ ＾＾； おっと、できた♪ この数列は、an=１ 公差０ の等差数列＾＾； そしたら、ならばの右も左も成立するヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ とここまで考えてみる。 いい？ 考えてみる。 考えてみる。考えてみる。 そして、この逆を取る。 すなわち lim(n→∞)1/n{a1+a2+...+an}=α ならば lim(n→∞)a[n]=α ＃これが逆。 今度は簡単だ。 左（十分条件）を適当に入れる。 さっきみたいに入れると成立するから、 ａ１＝１、ａ２＝２ とか入れる。 つまり、初項１、公差１の等差数列の平均。 ならば ａｎ≠（左辺） はすぐ見える。 こんな具合。 さて、ところで、 どこまでが分母だ？ これは全く役に立っていないかもしれない。 たすけて って言ったのなら、助けようと手を差し伸べた人間を 振り払うな！ そういう人間は、次に手を差し出されても気がつかない。 次に手を差し伸べてもらえないと心得てください。 σ(・・*)も、こんなこと書くのは相当に恥だ。 だってね、Ｌｉｍの計算で、Ｌｉｍをはずして考えていたなんて 数学じゃありえないんだからね＞＜ ここまで手の内を明かしているんだ。 分かろうとしているんだと思ったから。 恥を忍んで分かりたいと思っているんだろうなと、勝手に思ったから。 笑いたいのなら勝手に笑え。ただ、笑っていれば次はない。 差し伸べられた手は、いつの間にか消えてなくなることでしょうよ。 (=^. .^=) ｍ（＿ ＿）ｍ (=^. .^=)
- rnakamra
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反例を作ってしまえばよい。反例は簡単に作れます。
- B-juggler
- ベストアンサー率30% (488/1596)
いやはや、助けるも何も・・・。 a[n] は 数列ですか？ どういう数列か書いてありますか？ あるいは、ただの関数ですか？ この辺が全く決まってないので、答えようがないんです。 今言えるのは、 lim(n→∞)a[n]=α ならば lim(n→∞) (1/n){a1+a2+・・・・+an}=α が真であれば、 その逆 は 真になりえない。 ＃これは命題です。高校でやってるはずだよ。 ＃ ＡならばＢ のとき ＢならばＡ は正しいですか？ ＃ ん？ これは裏かな？ まぁどっちでもいいや。 ＃「真理命題」でググって。 とにかく、なにか問題に書いてないか、困っているのなら書き出して？ それと、何もないのなら、これが数列として、どういう数列か考えようか。 等差数列なのか、等比数列なのか。あるいは全く分からないものなのか？ 全く分からないものが、こういう風に等式で表せるのだろうか？ 極限を取って、 αに収束するなんていえるのだろうか？ こういう風に考えていくんだよ～。 助けてもらう前に、自分で何とかする努力を惜しむな！ (=^. .^=) ｍ（＿ ＿）ｍ (=^. .^=)
- B-juggler
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えっと、前も丸投げしてましたかね。 だめだよそんなんじゃ。教官に怒られてもいいから聴けよ！ でね、これは命題だろうと思うけど、 命題が真になるのは、どういうとき？ 真の命題に対して、逆の命題は、正しいといえるか？ 対偶は正しいけど。 そういうことを考えてくれるかな？ まずはね。 で、定義が相変わらずあいまい。 分かってるのかなぁ？と 疑問に思う。a[n]はこの場合、どんな数列だ？ そもそも数列なんだろうか？ 分かってる？ がんばれ。 としかいえないんだよ・・・。これじゃ。 (=^. .^=) ｍ（＿ ＿）ｍ (=^. .^=)
補足
助けてください
補足
=lim_{n→∞}[α+Σ_{k=1～n}{(-1)^k}/n] =α ここがよく分かりません。 宜しくお願いします。