微積分

質問

助けて下さい。（至急）

lim（n→∞）an＝α（≠0）のときは、ある正数Nが存在感して、n>Nであるすべてのnに対して、anはαと同符号であること。
を証明して下さい。

宜しくお願いします。

回答No.1

noname2727 · ベストアンサー

anはαに収束するので、（但し、α＞０とする。）
∀ε＞０,∃Ｎ∊N s.t. n>N ⇒　｜an-α｜＜ε

-ε＜an-α＜ε⇔-ε+α＜an<ε+α
これが任意のεで成り立つので、anは正。

回答No.2

rnakamra

ε-N論法の任意の正の数εに|α|>0をいれてしまえばよい。ただそれだけ。

補足

a(n) → α なので

任意の正の実数 ε に対して

n > N を満たすすべての n について

|a(n) - α| < ε となる N が存在します☆

ここで ε = |α| について考えてみると

|a(n) - α| < |α| となる N が存在することになります♪

|a(n) - α| < |α| は

-|α| < a(n) - α < |α| であり

α - |α| < a(n) < α + |α| ですが

◇ α > 0 のとき

α - |α| < a(n) < α + |α| は

0 < a(n) < 2α なので

n > N を満たすすべての n について

α > 0 かつ a(n) > 0 になり

◇ α < 0 のとき

α - |α| < a(n) < α + |α| は

2α < a(n) < 0 なので

n > N を満たすすべての n について

α < 0 かつ a(n) < 0 ですね。