微分積分

質問

微分積分（難）
f（x）がC＾（n＋1）級の関数、f（n回微分）（a）≠0のとき、テーラのー展開

f（a＋h）＝f（a）＋f’（a）h＋（1/2！）f’’（a）h＾2＋…＋｛1/（nー1）！｝f（nー1回微分）（a）h＾（nー1）＋（1/n！）f（n回微分）（a＋θh）h＾n

における0＜θ＜1についてlim（h→0）θを求めよ。

宜しくお願いします。

回答No.2

muturajcp

f(x)のaの近傍でのn次テーラー展開
f(a+h)=Σ_{k=0～n-1}f^{k'}(a)h^k/k!+f^{n'}(a+θh)h^n/n!,(0<θ<1)
とf(x)のaの近傍での(n+1)次テーラー展開
f(a+h)=Σ_{k=0～n}f^{k'}(a)h^k/k!+f^{(n+1)'}(a+th)h^{n+1}/(n+1)!,(0<t<1)
は等しいから
f^{n'}(a+θh)h^n/n!=f^{n'}(a)h^n/n!+f^{(n+1)'}(a+th)h^{n+1}/(n+1)!
f^{n'}(a+θh)=f^{n'}(a)+f^{(n+1)'}(a+th)h/(n+1)…(1)

f^{n'}(x)のaの近傍での1次テーラー展開から
f^{n'}(a+θh)=f^{n'}(a)+θhf^{(n+1)'}(a+sθh),(0<s<1)
これ=(1)から
f^{(n+1)'}(a+th)h/(n+1)=θhf^{(n+1)'}(a+sθh)
f^{(n+1)'}(a+th)/(n+1)=θf^{(n+1)'}(a+sθh)
lim_{h→0}f^{(n+1)'}(a+th)/(n+1)=lim_{h→0}θf^{(n+1)'}(a+sθh)
↓
f^{(n+1)'}(a)/(n+1)=(lim_{h→0}θ)f^{(n+1)'}(a)
↓
lim_{h→0}θ=1/(n+1)

回答No.1

alice_44

そんなん、具体的な f,a,n ごとに違うでしょう。
例えば…

f(x)=e^x, a=0, n=1 のとき、
e^h = 1 + {e^(θh)}h より
θ = (1/h) log( (e^h - 1)/h ) だから、
h→0 で θ→1/2.

f(x)=x^3, a=0, n=2 のとき、
h^3 = 0 + 0 + (1/2){6(θh)}h^2 より
θ = 1/3 (h の値に依らず) だから、
h→0 でも θ→1/3.