数列の収束について

質問

lim |a_n| = 0 なら　lim a_n = 0 である。
n ->∞　　　　　　　n ->∞

ということは、はさみうちの定理で証明されてて理解できたんですが、
この逆について、つまり

lim a_n = 0 なら　lim |a_n| = 0 である。
n ->∞　　　　　　　n ->∞

ということは可能なのでしょうか？
たぶんいえないと思うのですが、
それを示すよい数列の例が浮かびません。
なので、知っている方がいたら教えてください。
逆についていうことが可能か不可能かだけでもかまいません。

回答No.1

adinat · ベストアンサー

a_n→0と|a_n|→0は同値です。だから反例などあるわけがないです。

自明なことなので、証明するほどでもないですが、どうしても証明したければ、たとえばsgn(x)という符号関数を使ってみましょう。x≧0のとき1、x<0のとき-1に値を取る関数です。そうすると、|a_n|=a_n*sgn(a_n)と書くことが出来ます。したがって、この両辺で、n→∞とすると、仮定から右辺は0に収束しますので、左辺も0に収束しなくてはなりません。

お礼

すばやい解答本当にありがとうございます。
大前提として、反例はあるわけないですね、、、
私が勘違いしていました。
sgnを使った証明は非常にわかりやすかったです。
とても参考になりました。