微分

質問

|a|＜１のとき、lim(n→∞)na＾n=0を示すにはどうやるのですか？

親切におしえてください
できれば、途中式をつけてくれるとうれしい

参考書の説明には
a=0のときは明らかに成り立つ。
a<0の場合は絶対値をとることによってa>0の場合に帰着されるので、0<a<1の場合を考えれば十分である。
a=1/(1+h)とおくとh>0であり、またニ項定理を用いることにより、
(1+h)＾n> nC2 h＾2=(n(n-1)/2)・h＾2
が成り立つことから
0<na＾n=n/(1+h)＾ｎ＜2n/n(n-1)h＾2
=2/(n-1)h＾2
これは、ｎ→∞においての0に収束するので、はさみうちの原理により、
lim(n→∞)na＾=0
が示される。

何回もよんだのですが、よくわかりません。

できれば、くわしくおしえてください

回答No.3

Largo_sp

ん～とりあえず、中学レベルの計算問題がまだ理解できていないように思うのですが...

まず、a=0の時明らかに成り立つ理由は、
0^n=0 ですよね...(|n|>0)
0n=0　も　明らかですよね...
だから、na^nでa=0のとき　どのようなnでも答えは0ですよね
だからlim(n→∞)na^n=0(a=0)

で、a<0の時は本当ならば、n=2mの時とn=2m+1に分けないといけないです。
n=2mの時は、a'=a^2 とすれば、a'>0となります。
n=2m+1の時に、na^n<0となるので、まずは絶対値を取って、後でマイナスをつけることにします。
そうすると、a<0の時もまずは、a>0で考えることができそうだ。
ということは解かりますか？(説明してて良くわからなくなったんで)

(ここの部分はどうせ0になるから同じだって考えてもいいけど、それじゃよくないよなぁ
だれか上手な説明してくれませんか??)

二項定理の部分は
(1+h)^nを展開して、第2項目h^2の項を持ってきただけです
当然展開した式の一部分をもってきているので、
元の式よりも小さい数字になることはわかりますよね...

はさみうちの原理...教科書をよく読んでくださいよ
たとえば、a<f(x)<bとあるってことは、f(x)は
aとbの間にあるというのは解かりますよね...
bが、限りなくaに近づいた時間にあるf(x)はどうなるでしょう...
発散したりしたらあんまり意味がないとおもいませんか??

たぶん、中学のころの計算がまだ、理解できていない部分があるから
迷う部分があると思います...

回答No.2

mmky

参考程度に

記号学がわからないときは算数をしてみるんですね。
|a|＜１のとき、lim(n→∞)na＾n=0
aが1より小さいということですから例えば0.5にしましょう。そうすると、0.5は分数で1/2ですね。
lim(n→∞)n*(0.5)＾n=lim(n→∞)n*(1/2)＾n
=lim(n→∞)(n/2＾ｎ)=lim(n→∞)(n/2＾ｎ)
=lim(n→∞){n/(1+1)＾ｎ}
(1+1)＾n=1+n+n(n-1)/2+・・
=lim(n→∞){n/(1+n+n(n-1)/2+・・)}
ここで両辺をnで割れば、
=lim(n→∞){1/(1/n+1+(n-1)/2+・・)}→0
a=0.5 でやりましたが、aが1より小さければ分数表示できますので同じことですね。
という感じで気楽に考えてください。

回答No.1

MaskedUser

前回の質問（No.562731 微分）で親切な回答が付いてますが，それを見ても解らないという事ですね。

　それでしたら，ただ『何回もよんだのですが、よくわかりません。』と言ってるだけではダメですよ。どこまで解って，どこが解らないかを書かないと，回答者の方も適切な説明は困難ですよ。

　頑張って！

補足

すいません。
a=0のときは明らかに成り立つ。
どうして成り立つとわかるのですか？
lim　na＾n=0にa=0を代入すると、n=0だからですか？

a<0の場合は絶対値をとることによってa>0の場合に帰着されるので、0<a<1の場合を考えれば十分である。
絶対値をとると符号がかわるのですか？

a=1/(1+h)とおくとh>0であり、またニ項定理を用いることにより、
(1+h)＾n> nC2 h＾2=(n(n-1)/2)・h＾2
が成り立つことから
0<na＾n=n/(1+h)＾ｎ＜2n/n(n-1)h＾2
=2/(n-1)h＾2

二項定理については基礎しかわかりまえせん。
数字しか。記号はよくわかりません。
これは、ｎ→∞においての0に収束するので、はさみうちの原理により、

n→∞においてなぜ0に収束するのですか？
発散とかではだまなのですか？

lim(n→∞)na＾=0
が示される。