微分積分

質問

微分積分（難）
f（x）がC＾（n＋1）級の関数、f（n回微分）（a）≠0のとき、テーラのー展開

f（a＋h）＝f（a）＋f’（a）h＋（1/2！）f’’（a）h＾2＋…＋｛1/（nー1）！｝f（nー1回微分）（a）h＾（nー1）＋（1/n！）f（n回微分）（a＋θh）h＾n

における0＜θ＜1についてlim（h→0）θを証明せよ。

宜しくお願いします。

投稿日時 - 2012-05-27 01:18:31
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回答No.1

muturajcp

f(x)のaの近傍でのn次テーラー展開
f(a+h)=Σ_{k=0～n-1}f^{k'}(a)h^k/k!+f^{n'}(a+θh)h^n/n!,(0<θ<1)
とf(x)のaの近傍での(n+1)次テーラー展開
f(a+h)=Σ_{k=0～n}f^{k'}(a)h^k/k!+f^{(n+1)'}(a+th)h^{n+1}/(n+1)!,(0<t<1)
は等しいから
f^{n'}(a+θh)h^n/n!=f^{n'}(a)h^n/n!+f^{(n+1)'}(a+th)h^{n+1}/(n+1)!
f^{n'}(a+θh)=f^{n'}(a)+f^{(n+1)'}(a+th)h/(n+1)…(1)

f^{n'}(x)のaの近傍での1次テーラー展開から
f^{n'}(a+θh)=f^{n'}(a)+θhf^{(n+1)'}(a+sθh),(0<s<1)
これ=(1)から
f^{(n+1)'}(a+th)h/(n+1)=θhf^{(n+1)'}(a+sθh)
f^{(n+1)'}(a+th)/(n+1)=θf^{(n+1)'}(a+sθh)
lim_{h→0}f^{(n+1)'}(a+th)/(n+1)=lim_{h→0}θf^{(n+1)'}(a+sθh)
↓
f^{(n+1)'}(a)/(n+1)=(lim_{h→0}θ)f^{(n+1)'}(a)
↓
lim_{h→0}θ=1/(n+1)