微分積分の証明問題です。（再掲）

質問

こちらで質問させていただいた微分積分の証明問題ですが、
みなさんのアドバイスを参考に、自分なりに再度、解いてみました。
これで正しい証明になっているか、ご指導おねがいします。

【問題】
各自然数に対して、an=(n!/n^n)とおく。このとき、次の問に答えよ。
(1) 0 < an <= (1/n) (n=1,2,3,…)を示せ。
(2) 数列{an}の極限値を求めよ。

【(1)の回答】
n=1のとき、an=1, n=2のとき、an=(1/2), n=3のとき、an=(2/3)が成り立つ。
次に、n=kのときに成り立つと仮定する。即ち、
ak = k!/k^k <= (1/k)とする。
n=k+1のとき
a(a+1) = ((k+1)!/(k+1)^(k+1)) = (k!/ (k+1)^k) < (k!/k^k) < (1/k)
よって、k+1のときにも成り立つ。
以上から、数学的帰納法により、任意の自然数nについて
命題が成立することが示せる。

【(2)の回答】
はさみうちの原理により、
0 < lim{n→∞} an < lim{n→∞} (1/n) →0
∴lim{n→∞} an = 0

以上、よろしくお願いします。

回答No.3

arrysthmia · ベストアンサー

(1)
n = 3 のとき a_n = 2/3 は、計算違い。a_3 = 2/9 です。
そうでないと、a_3 < 1/3 が成り立ちませんね。
a_n を n = 3 まで求める必要は無いので、薮蛇です。
それよりも、a_1 = 1 であることによって、
「n = 1 のとき 0 < a_n ≦ 1/n が成立している」ことを
ハッキリ書いておかないと、帰納法の体裁が整いません。

「n = k のときに成立すると仮定すれば、n = k+1 でも成立する」
を示す部分で、示すべき式は、
0 < a_n ≦ 1/n に n = k+1 を代入した 0 < a_(k+1) ≦ 1/(k+1) です。
a_(k+1) ≦ 1/k を示しても、しかたありません。
1/k < 1/(k+1) ですから、もう少しタイトな評価が必要です。

(2)
その書き方で、lim{n→∞}a_n の収束性に関する議論が十分か
どうかは微妙です。

「挟み撃ちの原理」は、三つの数列が b_n ≦ a_n ≦ c_n を満たすとき、
lim{n→∞}b_n と lim{n→∞}c_n が同じ値に収束するならば、
「lim{n→∞}a_n も収束して」同じ値を持つ…　という定理ですから、
lim{n→∞}a_n の収束性は、当然含まれるのですが、
答案上、それがわかっているとみなされる書き方になっているか否か。

0 < a_n ≦ 1/n が成り立つ。lim{n→∞}(1/n) = 0 であるから、
挟み撃ちの原理により、lim{n→∞}a_n は収束して、
0 ≦ lim{n→∞} an ≦ lim{n→∞} (1/n) = 0。
くらいの書き方が、穏便かと思います。

お礼

大変丁寧なご指導、ありがとうございます。
非常にわかりやすい説明で、自分でもよくわかりました。
見ず知らずの自分に、これほど親切に教えていただき、
本当に感謝感激してます。
これからも、ご指導を仰ぐことがあると思いますが、
よろしくお願いします。

回答No.2

endlessriver

明確な？数学的帰納法を使わずとも簡単にできます。
an=(1/n)(2/n)・・・((n-1)/n)(n/n)
k/n<=1(k<=n)だから、これをk>=2に適用して
an<=1/n

お礼

アドバイスありがとうございます。
数学的帰納法をつかわなくても
シンプルに書く方法があるんですね。
大変勉強になりました。

回答No.1

orcus0930

大筋ではあってる。若干の計算ミスは注意すれば直せるので、（具体的にはa[3]）

(1)の帰納法が間違ってますね

n=k+1で示すべきは
a[k+1] <= 1/(k+1)であるから間違い。
a[k]>0であるからa[k]で割るという作業が許されるので、
a[k+1]/a[k] = (k+1)!/(k+1)^(k+1) * k^k/k! = (k/k+1)^k
より
a[k+1] = (k/k+1)^k a[k] <= (k/k+1)^k *1/k = (k/k+1)^(k-1)*1/k+1 <= 1/k+1
とすればよい

お礼

ご指摘ありがとうございます。
大変参考になりました。