微分積分の問題です

質問

lim[n→∞] An=a ならば

lim[n→∞]｛A1+A2+・・・+An｝/n =a を証明せよ。

こういう問題なのですが、

自分ではAn=a+εnでε-N論法を使用することはわかりました。

なにしろ、微積の理論的な問題がすごく苦手で、論述する回答の作り方
もあまり身についていない状況です。

ご回答お願いします。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

大雑把な話、lim[n→∞] An = a ならば、
n が十分大きいとき、A1, A2, …, An の内のほとんどのものは a に近いわけです。
Am+1, Am+2, …, An の部分が a に近いと思って
(A1 + A2 + … + An)/n = (m/n)(A1 + A2 + … + Am)/m + {(n-m)/n}(Am+1 + Am+2 + … + An)/(n-m)
の右辺を眺めると、第一項は m/n ≒ 0 だから、大勢に影響せず、
第二項は、(n-m)/n ≒ 1、(Am+1 + Am+2 + … + An)/(n-m) ≒ a (だって、a に近いものの平均)
だから、結局、(A1 + A2 + … + An)/n ≒ a となります。
これを、ε-N形式でキチンと書くと、No.1 さんのようになると思います。

# つならないことですが、ε-N論法を使うときに、
# An = a + εn のように、同時に他の事に ε の文字を使うのは
# どないなもんかと。混乱の基ですよ。

回答No.1

nag0720

∀ε＞0　∃n0∈N　∀n∈N[n＞n0⇒|An-a|＜ε]
の条件とき、
∀ε＞0　∃n0∈N　∀n∈N[n＞n0⇒|(A1+A2+・・・・+An)/n-a|＜ε]
を示せばいいわけです。

ε＞0に対する、[k＞m⇒|Ak-a|＜ε/2]となるmを求めて、
|{(A1-a)+(A2-a)+・・・・+(Am-a)}/n0|＜ε/2となるn0(>m)を求めます。
(十分大きいn0を考えれば必ず存在します)

このn0に対し、
n＞n0⇒|(A1+A2+・・・・+An)/n-a|＜ε
が成り立ちます。

|p+q|≦|p|+|q|を利用すれば証明できます。