[微分積分] 数列の極限

質問

以下の定理の証明の3行目から4行目の変形が分かりません。どなたか教えてください！

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[定理] a_n = ( 1 + 1/n )^n のとき、{a_n} は収束する。
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（１行目） [証明]　二項定理によって

（２行目）　a_n = ( 1 + 1/n)^n

（３行目）　　　= 1 + nＣ1( 1 / n ) + nＣ2 ( 1 / n^2 ) + ・・・ + nＣn ( 1 / n^n )

（４行目）　　　= 1 + 1 + ( 1 / 2！) *( 1 - 1 / n ) + ・・・ + ( 1 / n！)*( 1 - 1 / n )

（５行目）　　　 ・・・ ( 1 - (n - 1) / n )

回答No.2

nabla · ベストアンサー

第i項の場合を考えてみましょう。

nCi(1/n)^i = n(n-1)(n-2)…(n-i+1)/i(i-1)(i-2)…2・1・nnn…n
=(1/i!)＊(1-1/n)(1-2/n)…(1-i/n)
>=(1/i!)＊(1-1/n)

となります。
解答は不等号になっていませんか？

お礼

nablaさん、適切な回答ありがとうございました！
おかげさまで解決しました。

補足

「>=」(1/i!)*(1-1/n) になりますよねえ。
「＝」にはなりませんよね。
確かに以下の証明の続きでは不等号が登場してます。
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証明の続きは・・・

（６行目）　同様に、 a_(n+1) = ( 1 + 1/(n+1) )^(n+1)

（７行目）　 = 1 + 1 + ( 1 / 2！)*( 1 - 1 / (n+1) ) + ・・・ + ( 1 / n！)*( 1 - 1 / (n+1) )

（８行目） + ( 1 / (n+1)！)*( 1 - 1 / (n+1) )

（９行目） a_n と a_(n+1) を比較すると、第３項から第n+1項の対応する項同士はa_(n+1)の
方が大きく、しかも a_(n+1) の最後の項が残っているから、

（10行目）　 a_n < a_(n+1)

（11行目）　また、（２～４行目）の式より

（12行目）　a_n < 1 + 1 + 1 / 2！+ 1 / 3！+ ・・・ + 1 / ｎ！

（13行目）　 < 1 + 1 + 1 / 2 + 1 / 2^2 + ・・・ + 1 / 2^(n-1)

（14行目） = 1 + 2*( 1 - 1 / 2^n )

（15行目） = 3 - 1 / 2^(n-1)

（16行目）　　　∴　a_n < 3 ( n = 1, 2, ・・・ )

（17行目） よって、{ a_n }　は単調に増加する数列であるから、
定理「有界な単調増加する数列は収束する」 によって { a_n }　は収束する。

（18行目） この数列 { a_n }　の極限値を e とおく。すなわち、

（19行目） e = ｌｉｍ ( 1 + 1 / n )^n = 2.71828182845904・・・ [終]
n→∞

回答No.1

arukamun

組み合わせ

nCr = (n!)/(r!*(n-r)!)

ですね。

参考URL：

http://www.geocities.co.jp/Playtown-Toys/2593/JavaScript/fact.html#comb

お礼

arukamunさん、回答ありがとう！
さすがにそれは知ってます(^^;)
それだけじゃ疑問は解決しないけれど、答えてくださったことに感謝！ありがとうございました。