証明問題が得意な方おねがいします。

質問

次の定理をεーn式定義に従って証明。
２つの数列{Ａｎ}、{Ｂｎ}について、　lim　Ａｎ＝ａ、　　lim　Ｂｎ＝ｂ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｎ→∞　　　　　　　ｎ→∞
ならば

　　lim(Ａｎ±Ｂｎ)＝ａ±ｂ　　(復号同順)

なるべく簡単にお願いします。

回答No.1

roro02 · ベストアンサー

εーn式論法でlim　Ａｎ＝ａ（ｎ→∞）を書くと以下のようになります。
　∀ε＞0　∃Ｎ:自然数　ｎ＞Ｎ⇒|Ａn-ａ|＜ε

この式が全てです。この式を理解することを心がけてください。

さて、
　|Ａn+Ｂn-(a+b)|≦|Ａn-ａ|+|Ｂn-b|≦2ε
となり、
　lim(Ａｎ＋Ｂｎ)＝ａ＋ｂ　（ｎ→∞）
が示せます。複号ーの時も全く同様です。

回答No.2

uyama33

２つの数列{Ａｎ}、{Ｂｎ}について、　lim　Ａｎ＝ａ、　　lim　Ｂｎ＝ｂ
　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｎ→∞　　　　　　　ｎ→∞

　　lim(Ａｎ±Ｂｎ)＝ａ±ｂ　　(復号同順)
となることを示します。

　これは、証明の書き方だけの問題です。
　任意に　ε＞0　をとります。
　ε/2　に対して、Ｎ1　が存在して　ｎ＞Ｎ1　ならば、｜Ａｎ-a｜<ε/2
　ε/2　に対して、Ｎ2　が存在して　ｎ＞Ｎ2　ならば、｜Ｂｎ-a｜<ε/2
　とできます。
　　そこで、Ｎ＝max{N1,N2} とすれば、
　ｎ＞Ｎ　のときに、
　｜（Ａｎ+Ｂｎ)-（ａ+ｂ）｜＜＝｜Ａｎ-a｜+｜Ｂｎ-a｜<ε/2+ε/2＝ε
となるので、定義の通りに

　　lim(Ａｎ±Ｂｎ)＝ａ±ｂ　　が成立することが示せました。
補足：-　の場合でも　｜ｘ-ｙ｜＜＝｜ｘ｜+｜ｙ｜　が成立するので大丈夫。