高校数I 「連立不等式」 の問題がわかりません！

質問

途中過程を教えてください。

※問題は写真を参照ください。

※答え（ア）３、（イ）３、（ウ）３、（エ）X＜－２、１/2＜X （オ）－３≦a＜１、５＜a≦６

【特にわからない所】

（i）(1)の方程式を解くとの所で、
a<3 a=3 a>3 の（ア）３はどこから出てきたのでしょうか？？

（ii）（オ）の答え。どうしてこのような答えになるのか。

明日、黒板に書かなくてはならないのですが、わからないのでお願い致します。

途中過程だけでもOKです。（特に分からない所の説明はなくてもOK）

尚、ご協力して頂いた方の中から必ずベストアンサーをお選び致します。

宜しくお願い致します。

回答No.2

KEIS050162 · ベストアンサー

二次不等式は理解出来ていますか？　次に、連立二次不等式が理解出来ていますか？
この二点は教科書でしっかり復習してください。公式を丸暗記するのではなく、愚直にグラフを書き、数直線を書くという手順を踏んでみてください。

まずは、例題の簡単な二次不等式を解いてみます。
２ｘ＾２＋３ｘ－２＞０
これを　ｙ＝２ｘ＾２＋３ｘ－２　と置いて、ｘｙ座標面にグラフを書いてみてください。
グラフを書くに当たって、ｘ軸との交点を求める、即ち　２ｘ＾２＋３ｘ－２＝０　を解いてみると、これは簡単に因数分解できるケースなので、
（２ｘ＋１）（ｘ－２）＝０
となり、ｘ＝－１／２、２　の二つの交点が求められます。

次にグラフの向きですが、ｘ＾２の係数が正なのでこれは下向きに凸であることが分かります。なので、ｘ＝－１／２，２を通り下向きに凸なグラフを適当でよいので書いてみてください。（ｙ切片などは適当でも良いですが、ｘ＝０と置いた時のｙの値なのですぐに求められます。）

次に、元の不当式に戻ると、２ｘ＾２＋３ｘ－２＞０　なので、ｙ＞０、即ちグラフがｘ軸より上にある時のｘの範囲が求める解になることが分かります。
そこで、数直線上に、ｘ＜－１／２、ｘ＞２を書いておきます。

ここまでは、二次不等式の基本的な解法です。

次は応用ですが、ｘ＾２－（ａ＋３）＋３ａ＜０　も同様に解いてみます。
これも簡単に　（ｘ－ａ）（ｘ－３）　と因数分解できるのでグラフに書けますが、問題なのはａが３よりも左にあるのか右にあるのか、もしくは３に一致しているのかが分からない点です。

なので、これを場合訳して一つずつ検証していく過程が問題の前半部分になります。
（問題文中にあるので過程は省略）

次にａの範囲を求める方法ですが、ａ＝３の時は解なしなので無視して構いません。

まずは簡単な　ａ＞３　の時を考えます。
先ほど書いた数直線上に　３　の点を書き、その右側にａの点をどこか定める訳ですが、３を含みその右側すべてはｘ＞２の範囲内なので、単純に３とａの間に整数が二つ入る点を定めれば良いです。３，４，５，６　と数直線を追っていくと、５を範囲内に含める為ａは５より大きく、６を範囲外にする為６以下でないとならないことが分かります。従って、５＜ａ≦６。（＜と≦の違いを良く理解してください。）

もう一方の　ａ＜３　の場合も同様ですが、ここで、－２≦ｘ≦１／２　は（２）の不等式の範囲外であることに注意してください。
３，２，１，と数直線を左に追っていくと、ａは１より小さければ整数が二つ範囲に入ることが分かります。１／２より小さくなると既にそれは（２）の範囲外ですから一気に－２まで左に飛びます。更に左に追っていき、－３を超えると、３，２，１、（０～－２は範囲外）、－３となってしまい整数が３つ入ってしまうので、－３が左端であることが分かります。従って、－３≦ａ＜１。

愚直な方法ですが、二次不等式を改めて復習するにはこれが良いと思います。

ご参考に。

お礼

（連立）２次不等式の基本的な解法は大丈夫なのですが、こういった発展的な問題になると解けないんですよね・・・

あなたの回答で納得することが出来ました！
これで無事に黒板に書けると思います☆

本当にありがとうございました！！

補足

納得度から、ベストアンサーを選ばせて頂きました。

本当にご協力ありがとうございました。

回答No.1

mister_moonlight

座標を使えば簡単なんだが、学年が分からないので(高2以上なら　座標が使えるが)　数直線で考えてみよう。

(1)を解くと　(x-3)*(x-a)＜0。これは　β＜x＜αの形になるが、どっちがαで　どっちがβか分からない。
従って、aと3の大小で場合わけが発生する。
・ a＞3の時　3＜x＜a
・ a＝3の時　(x-3)＾2＜0　から　これを満たすxの実数値はない。
・ a＜3の時　a＜x＜3

(2)を解くと　x ＞1/2、x＜-2。よって(1)と(2)の共通範囲に、xの整数値が２個あるためのaの条件を求める事になる。数直線を書いて見ると
・ a＞3の時　3＜x＜aだから　この場合の整数値は4と5.　従って、右端のaは　5≦a＜6.
・ a＝3の時　(x-3)＾2＜0から　これを満たすxの実数はないから、この場合は除外する。
・ a＜3の時　a＜x＜3　だから　この場合の整数値は　1と2だから　左端のaは　-3≦a＜1.

＞尚、ご協力して頂いた方の中から必ずベストアンサーをお選び致します。

そんな事より、君が理解できてくれる方が、回答者としては喜ばしい事。

お礼

回答ありがとうございました。

他の回答もあり、無事この問題を納得することができました！