不等式の問題です

質問

学校で黒板に板書するよう言われましたが、３０分ほど考えても答えにたどり着けません。

「不等式　ｘ＾２－１０ｘ＋２４＜０（以後(1)と略）　を満たす実数ｘに対して、不等式　ａ＾３＋（２－ｘ）ａ＾２－（ｘ＋４）ａ＋ｘ＾２＋２ｘ－８＞０（以後(2)と略）　が成り立つような実数ａの値の範囲を求めよ。」

とりあえず私がやってみた方法は、
(1)から　４＜ｘ＜６・・・(3)
(2)をｘの２次関数にして、
ｆ（ｘ）＝ｘ＾２＋（２－ａ＾２－ａ）ｘ＋ａ＾３＋２ａ＾２－４ａ－８
この関数の軸を求めて、軸＜４、４＜軸＜６、軸＜６の３つに場合分けしてみました。
が、途中で４次方程式がでてきたりしてなかなか答えが合いません。

どうか助けてください！
ちなみに答えは　－２√２≦ａ≦２、４≦ａ　です。

回答No.2

springside · ベストアンサー

なかなか面倒な問題ですね。
うまい因数分解に気付くかどうか、にかかっているようです。

f(x)=x^2-(a^2+a-2)x+a^3+2a^2-4a-8
=x^2-(a+2)(a-1)x+a^3+2a^2-4a-8
（注：ここで、a^3+2a^2-4a-8がa+2かa-1で割り切れるのではないか、見当を付けると）
=x^2-(a+2)(a-1)x+(a+2)^2(a-2)
（注：ここで、この式がxの１次式同士に因数分解できるのではないか、と見当を付けると）
={x-(a+2)}{x-(a^2-4)}
となる。

つまり、f(x)=0という方程式は、x=a+2,a^2-4という解を持つことがわかる。

（注：ここから先はy=f(x)の放物線のグラフとx軸との交点、さらに、aの数直線を書いてください）

１．a+2≦a^2-4のとき
a+2≦a^2-4を解くと、「a≦-2,3≦a」である。
この時、4<x<6においてf(x)>0であるためには、
6≦a+2又はa^2-4≦4でなければならない。
つまり、「4≦a」又は「-2√2≦a≦2√2」である。
今、「a≦-2,3≦a」なので、結局、「-2√2≦a≦-2、4≦a」となる。

２．a^2-4＜a+2のとき
a^2-4＜a+2を解くと、「-2＜a＜3」である。
この時、4<x<6においてf(x)>0であるためには、
6≦a^2-4又はa+2≦4でなければならない。
つまり、「a≦-√10,√10≦a」又は「a≦2」である・
今、「-2＜a＜3」なので、結局、「-2＜a≦2」となる。

以上の１．と２．を合わせて、答えは、「-2√2≦a≦2、4≦a」となる。

お礼

回答していただき有難うございます！
springsideさんの解き方を見て納得いきました。

結局私のやってた方法は焦点からずれてたんですね（汗
私が試した方法では　「a≦-√10,√10≦a」又は「a≦2」　ってとこまでは出たんですが・・・。それから先が出せませんでした。

回答No.3

uruseiyatsurada

x^2+(2-a^2-a)x+a^3+2a^2-4a-8
=x^2-(a^2+a-2)x+a^2(a+2)-4(a+2)
=x^2-(a^2+a-2)x+(a^2-4)(a+2)
=[x-(a^2-4)][x-(a+2)]

で
(a^2-4)-(a+2)
を考えたとき
=(a^2-a-6)=(a-3)(a+2)
なので
-2<a<3において a+2>a^2-4...(3)
a<-2,3<aにおいて a+2<a^2-4...(4)

(3)のとき　(2)を満たすためには
a^2-4>6...(5)
　もしくは　
a+2<4...(6)

(5)は
　a^2>10
よって　a<-√(10),√(10)<aだが
　(3)を満たさない
(6)
a<2
(3)とあわせて
　-2<a<2....(p)

(4)のとき　(2)を満たすためには
a^2-4<4...(7)
　もしくは　
a+2>6...(8)

(7)は
　a^2<8
-2√2<a<2√2
　(4)とあわせ
　-2√2<a<-2...(q)
(8)は
　a>4
(4)とあわせ
a>4...(r)

ここで　a=-2もしくはa=3の場合...(9)
を考えると

　a+2(=(a^2-4))>6...(10)
か
　a+2<4...(11)

(10)は
　　a>4で　(9)を満たさず
(11)は　
　　a<2で　(9)とあわせて
　a=-2...(s)

よって　(p)(q)(r)(s)より

　求める範囲は
　-2√2<a<2,4<a

お礼

回答していただき有難うございます。

uruseiyaturadaさんのはＮｏ．２さんのとはちょっと違った解法ですね。こちらも参考にさせていただきます。

回答No.1

c6h6

f(x)={x-(a+2)(a-2))}{x-(a+2)}かな？

お礼

回答していただき有難うございます。
まさかここで因数分解するとは思いませんでした。
私の推測力不足ですね。