無限級数 1+1/3+1*3/(2!3^2)+..

質問

教科書の問題なのですが、解説がついていないためヒントでもいいのでお願いします。
次の無限級数の和を求めよ
1+1/3+1*3/(2!3^2)+1*3*5/(3!3^3)+...+1*3*5*...*(2k-1)/(k!3^k)+...
多分テイラー展開の展開式とくらべて式を作るのかなと思ったのですが、
分母のk!と3^kに着目して、e^xでつくって最後に1/3を代入しようと思ったのですが、
奇数の積の部分がなんとかして微分でだそうとしても必要な微分の回数が項によってことなるためできないんですが、どうすればいいのでしょうか？

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

Σ[k=0,∞] (2k-1)!!/(k!*3^k)
は
f(x)=1/√(1-2x)のマクローリン展開
f(x)=Σ[k=0,∞](2*k-1)!!/k!*x^k
を使い
f(1/3)=Σ[k=0,∞] (2k-1)!!/(k!*3^k)=1/√(1-2(1/3))=1/√(1/3)=√3
と求めることが出来ます。

お礼

なるほど～項の微分回数が違うことを利用するんですね　回答ありがとうございましたー