式の級数展開

質問

式の級数展開

時弘哲治「工学における特殊関数」p102において

2zeta / (zeta * zeta -1)のzeta=0まわりの展開は
-2zeta - 2 (zetaの3乗)
とありました。

自分で展開をしてみようと思い

f(x) = sigma_{k=0}^{n} {f^k(a) * (x-a)^k}, x=0のテーラー展開をしたのですが、
得られたのは = -2 -2 + ...
でした。

展開の式はテーラー展開でなく、ローラン展開をすることになるのでしょうか？

-2zeta - 2 (zetaの3乗)
を得るための式変形のヒントをお願いいたします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

左辺に z=0 がちゃんと代入できますから、
ローラン展開じゃなく、テイラー展開ですね。

部分分数に分解して、
2z/(z↑2 - 1) = 1/(1 + z) - 1/(1 - z).
等比級数の和より、
1/(1 - z) = 1 + z + z↑2 + z↑3 + …,
1/(1 + z) = 1 - z + z↑2 - z↑3 + ….
下の二式を上の式へ代入して整理すると、
2z/(z↑2 - 1) = - 2z - 2z↑3 - ….

お礼

ありがとうございます。そのままでなく部分分数にしないといけなかったのでしたか。