無限級数の和

質問

次の無限級数の和を求める。
(1)Σ1/[{(2n+1)^2}-1]
(2)Σ1/(1+2+3+…+n)
二つとも(n=1→∞)です。

この問題なんですが、(1)はとりあえず分母を展開して
計算したら、Σ1/{4(n^2)+4n}になりました。
ここからどうすればいいでしょうか？
(2)は全然分かりません。
あと最初にlim(n→∞)の形に置き換えないといけませんか？

回答No.1

kumoringo · ベストアンサー

ヒント： 1/(n*(n+1)) = (1/n) - (1/(n+1))

(1) は展開しないで考えた方が良いです。
(2) はとりあえず分母を計算しましょう。

回答No.3

Saebapon

一般に
1/(ab)={1/(b-a)}{(1/a)-(1/b)}
が成立します。これを基本にして計算することが多いです。

具体的に一つ例を挙げると、
Σ(n=1→∞)1/{(2n-1)(2n+1)}
=lim(n→∞)Σ(k=1→n)(1/2){(1/(2k-1))-(1/(2k+1)}
=lim(n→∞)(1/2)[{1-(1/3)}+{(1/3)-(1/5)}+{(1/5)-(1/7)}+...+{(1/(2n-1)-(1/(2n+1)}]
=lim(n→∞)(1/2){1-(1/(2n+1)}
=1/2

(1)は
1/[{(2n+1)+1}{(2n+1)-1}]
=1/{(2n+2)2n}={1/(2n)-1/(2n+2)}×(1/2)
と部分分数に展開できますから、これから求めるといよいです。

(2)は
1/{Σ(k=1→n)k}
=2/n(n+1)
となりますから、同様に求められます。

回答No.2

PRISM_MAX

(2)はちょっと私もわからないので、とりあえず(1)だけ。
まずはヒントということで。
展開してはだめです。a^2-b^2=(a+b)(a-b)の公式で積の形にして、そこからさらに、2つの分数の和(とういか差というか)に分解します。すると、この無限級数が非常に単純な形になることがわかります。