無限級数

質問

定積分∫[{1－e^(－x^2)}/x^2]dx を小数2桁まで求めよ。(0→1）
やり方は、解答によると
{1－e^(-x^2)}/x^2 ＝1-(x^2/2!)+(x^4/3!)-(x^6/4!)+…….
このベキ級数はすべてのxに対して収束する。したがって、0≦x≦1で一様収束するので(ベキ級数の一様収束性），項別積分ができて
∫[{1－e^(－x^2)}/x^2]dx ＝[x-(x^3/3*2!)+(x^5/5*3!)-(x^7/7*4!)…](0→1)
＝1－0.1666＋0.0333－0.0060＋…＝0.86
そもそも、なぜ、{1－e^(-x^2)}/x^2 ＝1-(x^2/2!)+(x^4/3!)-(x^6/4!)+……
となるのかがよく分かりません。
マクローリン展開だと思うのですが。
微積を始めたばかりの文系の学生(＝私)でも分かるように、教えてください。
微積のはじめのところでテイラー展開などは1度やったのですが、級数のところで出てきてさらに勉強しているところです。
よろしくお願いします。

回答No.3

mmky · ベストアンサー

皆さんの回答はありますが微積を始めたばかりの文系の学生さんということですので、少し丁寧な参考までに。

未知の関数f(x)をべき数展開して以下のように置いてみるんですね
f(x)=a0+a1*x+a2*x＾2+a3*x＾3+・・・・+an*x＾n+・・・
そこで、係数an を求めるのですが、微分という方法を使うとべき数の
次数が１個ずつ減りますので、それを使うのですね。
f(x)=a0+a1*x+a2*x＾2+a3*x＾3+・・・・+an*x＾n+・・・
f(0)=a0
f'(x)=a1+2*a2*x+3*a3*x＾2+・・・・+n*an*x＾n-1 +・・・
f'(0)=a1 →a1=f'(0)
f''(x)=2*a2+3*2*a3*x+・・・・+n*(n-1)*an*x＾n-1 +
f''(0)=2*a2 →a2=(1/2)f''(0)
f'''(x)=3*2*a3+・・・・+n*(n-1)*an*x＾n-1 +
f'''(0)=3*2*a3 →a2=(1/3*2)f'''(0)
・・・・
f＾n(x)=n(n-1)・・・2*an　+・・・
f＾n(0)=n(n-1)・・・*2*an　→an={1/{n(n-1)(n-2)・・　*2}}*f＾n(0)
となりますね。ここでf(x)=e＾x として考えてみるんですね。
e＾x　は何回微分しても同じくe＾x ですから、x=0, でe＾x =1 ですね。
だから、
e＾x =1+x+x＾2/2+x＾3/3*2+・・・・・+x＾n/{1/{n(n-1)(n-2)・・　*2}+
ちょっと面等だから、n!={n(n-1)(n-2)・・　*2*1} なので、
e＾x =1+x+x＾2/2！+x＾3/3！+・・・・・+x＾n/n!+・・・
になるんですね。
(x)の代わりに（-x＾2)と置けば、
e＾(-x＾2) =1+(-x＾2)+(-x＾2)＾2/2！+(-x＾2)＾3/3！+・+(-x＾2)＾n/n!+・・・
になるね。
だから、
{1－e^(-x^2)}=(x＾2)-(x＾4)/2！+(x＾6)/3！+・+(-1)＾n-1*x＾2n)/n!+
{1－e^(-x^2)}/x^2 ＝1-(x^2/2!)+(x^4/3!)-(x^6/4!)+……
になるじゃないね。
参考までに。

お礼

ありがとうございます。e^xを展開して代入すればよかったのですね。
分かりやすかったです。

回答No.2

komomomo

まず、

1-(e^(-x^2))=1-(1-x^2+x^4/2!-x^6/3!+x^8/4!...)
=x^2-x^4/2!+x^6/3!-x^8/4!...

ということで、

{1－e^(-x^2)}/x^2=1-x^2/2!+x^4/3!-x^6/4!...

になると思います。

補足

ありがとうございました。

回答No.1

nubou

ｅｘｐ（ｙ）＝Σ（０≦ｎ）・ｙ＾ｎ／ｎ！
においてｙ＝－ｘ＾２とおいた式を問題の式に代入しただけですよ

お礼

1－e^(－x^2)}/x^2 を微分して…とやっていたから、計算が複雑になってしまったみたいです。
ありがとうございました。