無限級数の和の求め方

質問

|x|＜1/2 の時の下の無限級数の和を求めるのはどうやったらよいのでしょうか？

1+3x+7x^2+15x^3+・・・・・

ってなっていて一般項は(2^n-1)x^(n-1)だとわかったのですがその先がわからないので是非お願いします。

回答No.1

mozniac · ベストアンサー

>一般項は(2^n-1)x^(n-1)
そうですね。じゃあこれを次のように変形してみますか。

2*(2x)^(n-1)-x^(n-1)

okですか？

|x|＜1/2 だから
2*(2x)^(n-1)において公比が2xなので、|2x|<1より2/(1-2x)に収束
x^(n-1)も公比がxで、1/(1-x)に収束

というわけで、2/(1-2x)-1/(1-x)=1/(1-2x)(1-x)が正解

お礼

ありがとうございます。
変形した後別々に考えるんですね～
ほんと助かりました。