数学III 極限の問題

質問

数学III
極限の問題

θ→π/2 - 0 のとき、関数 (cosθ)*〔√(1 + cos^2θ) - 1〕*(π/2 - θ)^α / 4 が収束するようなαの値の範囲を求めよ。

という問題です。
式がややこしくてかなり見づらいですが・・・

言葉で補うと
分子が (cosθ)*〔√(1 + cos^2θ) - 1〕 で、分母が 4 の式に (π/2 - θ)^α が掛けられている状態です。

解答は、π/2 - θ= t とおいてから変形していくという方法なんですが
最初に式を見たときに「全部0になるから掛けて0じゃだめなのか」と思いました。

極限を習ったときに聞いた極限の不定形とは
「∞*∞、0*∞、0/0、∞-∞」でした。これらの形を解消するために最高次の文字でくくったり割ったりして変形してきました。

でもここではそのような不定形にはあてはまらない（θ→π/2のとき、すべて0になる）と思いました。

何がいけないのか、極限の不定形について説明お願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

>極限を習ったときに聞いた極限の不定形とは
>「∞*∞、0*∞、0/0、∞-∞」でした。これらの形を解消するために最高次の文字でくくった
>り割ったりして変形してきました。

問題は標準のやり方で直ぐできるようには作られているとは限りません。

「θ→π/2 - 0 のとき」は　あくまでもθ≠π/2であって、θ=π/2ではありません。
なので「π/2 - θ= t 」とおいても　「t→0+」は t≠0であって t=0とは違います。
従って「（θ→π/2のとき、すべて0になる）」はあてはまりません。
極限としてはゼロになるとしても、極限をとる前の式は０ではありません。

>最初に式を見たときに「全部0になるから掛けて0じゃだめなのか」と思いました。
なので、αで場合分けして、不定形になるような項の積になるように式を変形すればいいだけでしょう。

cos(θ)/(π/2-θ)=cos(π/2-t)/t=sin(t)/t →1 (t→ 0+)

{√(1 + cos^2θ) - 1}/(π/2-θ)^2
={√(1 + cos^2θ) - 1}{√(1 + cos^2θ) + 1}/[{(π/2-θ)^2}{√(1 + cos^2θ) + 1}]
={(1+cos^2θ)-1}/[{(π/2-θ)^2}{√(1+cos^2θ)+1}]
=(cos^2θ)/[{(π/2-θ)^2}{√(1+cos^2θ)+1}]
→(cos^2θ)/[{(π/2-θ)^2}*2] (θ→π/2-0)
=(1/2){cosθ/(π/2-θ)}^2 (θ→π/2-0)
=(1/2){cos(π/2-t)/t}
=(1/2){sin(t)/t}→1/2 (t→0+)
のように不定形に持ち込めば良いです。

つまり、
α＞-3では、
　分子に(π/2-θ)の項が過剰に残るため、完全な不定形の項の積に持ち込めませんので、極限は０になります。

α＝-3では、過不足なく不定形項の積に持ち込めて、分母の4を考慮すれば
　極限は　1*(1/2)*(1/4)=1/8　になります。

α＜-3では　分母に (π/2-θ）の項が残るため、完全な不定形（の積）に持ち込めませんので、極限は∞になります（発散）。

以上から極限が存在する為のαの範囲は　「α≧-3」 となることがわかるかと思います。

お礼

皆様回答ありがとうございました。

回答No.5

alice_44

あ、いけね。
t→+0 だから、「最低次の項で割って変形」でしたね。

回答No.4

alice_44

既に No.1 さんが簡潔に説明しているように、
問題の式が不定型になるのは、α＜0 の場合です。
その場合、式は 0*∞ 型の不定型になります。
α＞0 の場合は、仰る通り、全部 0 になる極限
の積だから掛けて 0 で ok です。
α＝0 の場合は、0 になる極限と定数 1 の積
だから少し違いますが、収束する極限の積に分解
できることも、掛けて 0 になることも同じです。

0*∞ 型の不定型になる場合の計算は、No.2 さんの
計算が標準的です。ちょっとレベルは上がりますが、
最高次の文字でくくったり割ったりして変形する方法
も一応書いてみましょう。

最高次の文字で割って処理するためのは、対象の式が
多項式でないといけません。問題の式には cos や √
が入っていますから、これを多項式(っぽいもの)に
変形する必要があります。それには、テイラー展開を
すればよい。一般のテイラー展開は式が面倒なので、
π/2 - θ = t とおいてマクローリン展開で済ます
のが簡単です。sin と √(1+x) のマクローリン展開は、
sinθ = θ - (1/6)θ^3 + …
√(1+x) = 1 + (1/2)x + … ですから、
問題の式 = (sin t)*[√(1+sin^2 t)-1]*t^α/4
= t*[(1/2)(t - (1/6)t^3 + …) + …]/(4*t^-α)
の分子分母を、最高次の文字で割るにはどうするか、
-α の値で場合分けして考えればよいです。

回答No.2

NemurinekoNya

t=π/2-θと置くと
与式=(sinθ)*[√(1+sin^2θ)-1]/θ^(-α)/4
分子の有理化を行うと
=(sinθ)*(sin^2θ)/{√(1+sin^2θ)+1}/θ^(-α)/4
β=-αと置くと
与式=(sinθ)*(sin^2θ)/{√(1+sin^2θ)+1}/θ^(β)/4
β=3の時
与式=(sinθ/θ)*(sin^2θ/θ^2)/{√(1+sin^2θ)+1}/4
になるので、極限の計算が可能になる。極限の計算は自分でしてね。たぶん1/8。
β<3の時は
与式=(sinθ/θ)*(sin^2θ/θ^2)/{√(1+sin^2θ)+1}/θ^(β-3)/4
　　=(sinθ/θ)*(sin^2θ/θ^2)/{√(1+sin^2θ)+1}*θ^(3-β)/4
この時の極限は、計算をするまでもなく0（∵lim θ^(3-β) = 0　3-β>0だから)
β>3の時は
与式=(sinθ/θ)*(sin^2θ/θ^2)/{√(1+sin^2θ)+1}/θ^(β-3)/4
の極限は、定数/0の型になるので、極限値は存在しない。
ということで、極限値が存在するβの範囲はβ≦3。
α=-βだから
α≧-3
ということになります。

おおまかな流れはこうだけれど、これを参考に自分で解答を作ってね。
計算間違いをしていないと思うけれど、僕は計算間違いとポカ、ケアレスミスが多いから、よく確かめてね。

回答No.1

nag0720

(π/2 - θ)^α　→　0
となるのは、α≧0　の場合。
α＜0　のときはどうなる？