数IIIの極限の問題です。

質問

第n項がr^2n+1 / r^2n +1 で表される数列の収束、発散を調べよ。という問題で、答えにはlim r^2n = lim r^2n+1 = 0なので　1に収束する、となっています。私は分母と分子をr^2nで割ってrに収束する、と答えたのですが、どこが間違っているでしょうか。教えてください。

回答No.3

jcpmutura

{r^2n+1}+1/{r^2n}+1
と書くと
{r^2n+1}+1/{r^2n}+1={r^(2n)}+1+{1/r^(2n)}+1
と解釈されます。

{r^(2n+1)+1}/{r^(2n)+1}

と書きましょう

lim_{n→∞}{r^(2n+1)+1}/{r^(2n)+1}
分母分子をr^(2n)で割ると
=lim_{n→∞}{r+1/r^(2n)}/{1+1/r^(2n)}
↓|r|<1だからlim_{n→∞}r^(2n)=0だから
={r+(1/±0)}/{1+(1/±0)}
=(r±∞)/(1±∞)

不定形∞/∞となってしまうので間違いです

回答No.2

noname#232123

{r^2n+1}+1 / {r^2n}+1 と書かれたとおり一般項の式を解釈すると、
a[n]=r^(2n) + r^(-2n) + 2={r^n + r^(-n)}^2 ですから、
r>1 のとき、r^(n)→∞.
0<r<1 のとき、r^(-n)=(1/r)^n→∞.
r=1 のとき、a[n]=4.
したがって、r=1 のときのみ収束です。

回答No.1

noname#232123

必要な部分をかっこでくくらなければ、意味が正確に伝わりません。
a[n]={r^(2n)+1}/{r^(2n)+1}=1、or
a[n]=r^(2n) + 1/r^(2n) +1 or ....

お礼

失礼しました。問題文も一部間違えていたので訂正させていただきます。
第n項が{r^2n+1}+1 / {r^2n}+1 で表される数列の収束、発散を調べよ。という問題で、答えにはlim {r^2n} = lim {r^2n+1} = 0なので　1に収束する、となっています。私は分母と分子を{r^2n}で割ってrに収束する、と答えたのですが、どこが間違っているでしょうか。教えてください。

補足

rの条件も忘れていました…。-1<r<1のときです。