比の極限

質問

ある関数f(x),g(x)を考え、いずれも x->inf のとき0に収束するとします。
このとき、f(x)/g(x)の極限は不定形になるのですが、ある定数に収束しそうなとき、
証明方法として、ロピタルの定理以外に何かありますか？
分母分子を何度微分しても、不定形になるので、それ以外で何かしら証明する
パターン的なものがあれば、ご教示ください。
お願いいたします。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。

パターンを 3つと言いながら、4つ書いていましたね。＾＾；

4)については、次のようなイメージです。
分母・分子がマクローリン展開により（テイラー展開でもいいです）
(分子)＝ a(m)*x^m+ a(m-1)*x^(m-1)+ ・・・+ a(1)* x+ a(0)
(分母)＝ b(n)*x^n+ b(n-1)*x^(n-1)+ ・・・+ b(1)* x+ b(0)

とそれぞれ展開されたとします。
すると、
・m＜ nであれば、x→∞のとき (分子)/(分母)→ 0
・m＝ nであれば、x→∞のとき (分子)/(分母)→ a(m)/b(n)
・m＞ nであれば、x→∞のとき (分子)/(分母)→ ±∞　（全体の正負による）

m＝ nのときは、ロピタルの定理で微分を繰り返していくと a(m)/b(n)が残りますね。
というのが、先の回答で最後に書いていた内容です。

ざっくりとした感じなので、正確さを欠いている部分もあるかもしれません。
参考になれば、幸いです。

お礼

何度もありがとうございます。
理解できました。大変助かりました、ありがとうございました。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

すべてパターンで収まるかはわかりませんが、
たいていは次の 3つの形になるかと
1) 素直に式変形する。
2) はさみうちの原理を用いる。
3) ロピタルの定理を用いる。
4) テイラー展開（マクローリン展開）を用いる。

4)の場合は最高次数を調べることになりますね。
そして、4)の形から分母・分子を微分を繰り返していくと、最高次数の係数が残ります。
これはちょうど 3)を用いているところにつながってくるかと。

お礼

ご回答をいただきありがとうございます。
3)までは理解いたしましたが、4)に関しての最高次数というのは何をさされているのでしょうか？剰余項のことですか？
飲み込みが悪くて申し訳ございませんが、ご教示いただきますと幸いです。