数学III・Ｃ問題計算方法

質問

極限を求めよ
lim(n→∞)√(n＾3＋1)/√(n＾2＋1)＋√n＝lim(n→∞)√{n＋(1/n＾2)}/√{1＋(1/n＾2)}＋√(1/n)＝∞

ととある問題集の解答に書いてあるんですが
途中式が１つ目の式から次の式までの仮定と
なぜ最終的に∞になるのかがわかりません
分母にもnがあり、分子にもnがあったら
最終的に
分子＞分母の場合→∞
分子＜分母の場合→０
になると思うんです
でもなぜ無限大とわかるのでしょう？

解説よろしくお願いします。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。
分母は √(n＾2＋1)＋√nですね。

途中式まで変形したときに、n→∞において
(分子)＝ √{ n＋(1/n＾2) }→ ∞
(分母)＝ √{1＋(1/n＾2)}＋√(1/n)→ 1（有限確定値）

となるので、全体としては無限大に発散となります。
いまの問題はどちらかが有限確定値に収束して・・・とかを考える計算問題のひとつかと。

＞分母にもnがあり、分子にもnがあったら
＞最終的に
＞分子＞分母の場合→∞
＞分子＜分母の場合→０
＞になると思うんです

n＝ 2.7ぐらいで分母・分子の大小関係は逆転しますが、
n→ ∞という「非常に大きな nになるとき」を考えているので、
(分子)＞ (分母)のときしか考えないことになります。

極限を考えるときは、
少し「大きな気持ち」で式全体の値がどうなるかを考えてみた方が
その様子をとらえやすいと思います。

お礼

詳しく書いていただきありがとうございました！

回答No.3

yyssaa

分子はnを√の外へ出して√(n＾3＋1)
=n√{n＋(1/n＾2)}
分母もnを√の外へ出して√(n＾2＋1)＋√n
=n√{1＋(1/n＾2)}+n√(1/n)
その上で分子分母をnで割ると二つ目の式になります。

lim(n→∞)√{n＋(1/n＾2)}/√{1＋(1/n＾2)}＋√(1/n)＝∞
については
n→∞のとき、1/n＾2→0、1/n→0　なので、
残るのは分子が√n、分母が√1だけです。
従ってn→∞で√n→∞から与式も→∞となります。

回答No.1

87c567d7

最初は分子と分母に√(１/n^2)をかけて、次は1/n^2,1/nがn→∞より０となり√（ｎ/1)=∞となります。