極限値の求め方が分かりません

質問

極限値の求め方が分かりません
例
(1)-2/{√(1-2/x)-1}　(x→∞)
(2)(x^2+x-12)/(x-1)　(x→3)
(3)(x^2-9)/(x^2-5x+6)　(x→3)
(4)(x^2-7)/(x^2-5x+6)　(x→3)

(1)はx→∞のとき，2/x→0なので分母→0
よって(1)→∞
(2)はx→3のとき，分子→0，分母→2
よってx=3を代入して(2)→0
(3)はx→3のとき，分子→0，分母→0
そこで式を変形すると(x+3)(x-3)/(x-2)(x-3)=(x+3)/(x-2)
ここでx=3を代入して6

ここで分からないことがあります．
・分母→0のとき
分子→0なら，式を変形し，分子が0に収束しないならそのままx=αを代入できるのですか？
・(4)（(3)のように割れない）はどうなるのですか？
・こういう問題ではどういう決まりがあるのですか？（∞-∞や∞/∞に収束するような形はだめ．など）

回答No.1

math-wo · ベストアンサー

＞・分母→0のとき
　分子→0なら，式を変形し，分子が0に収束しないならそのままx=αを代入できるのですか？

分子を変形しても分母→0のままだと代入は出来ません。
(3)のようにx→3のとき０になる因子(x-3)が約分で分母分子から消えたので、この場合は代入できます。

＞・(4)（(3)のように割れない）はどうなるのですか？

まず、分母→0だったら+∞に発散であるとは限りません。
分母→+0なのか分母→-0なのかを判断しなければなりません。
たとえば(1)で、√が√(1+2/x)だった場合は-∞に発散します。
x→∞のとき2/x→0ですが2/x＝0とはなりません。あくまでx>0ですから正の範囲で0に近づいているわけです。となると√(1+2/x)は１よりほんのわずかだけ大きくなりますから、式全体で分母√(1+2/x)-1は正の範囲で0に近づいていきます。つまり分母→+0というわけです。このときはじめて+∞に発散だと分かります。この場合は分子が-2なので-∞に発散となるわけです。

で、(4)の場合はというと、式変形で(x^2-7)/((x-3)(x-2))ですがx→3のとき分子と(x-2)は正なので(x-3)を右側極限と左側極限で場合分けが必要だと思います。
x→3+0のときx-3→+0だから(4)→+∞、x→3-0のときx-3→-0だから(4)→-∞です。

＞・こういう問題ではどういう決まりがあるのですか？（∞-∞や∞/∞に収束するような形はだめ．など）

極限が∞ー∞、∞/∞、0×∞、0/0という形になるときは不定形といってこのままでは極限値を定めることが出来ないので式変形が必要になってきます。
極限の問題の本質は不定形を解消することにあります。

お礼

ありがとうございます．
おなじ0に収束するのでも，＋と－を気にする必要があるのですね．
不定形をなくしていくことが重要なのですね．今までこれが分かりませんでした．
とてもスッキリしました．
これからもよろしくお願いします．