数III極限（基礎）の質問です。

質問

いつもお世話になりありがとうございます。お手数をおかけしますが、今回も宜しくお願い致します。

数III極限（基礎）の質問です。

「関数 f(x) = √(ax+1)-3/(x-2) がx→2のとき収束するように、定数aの値を定めよ。また、そのときの極限値を求めよ。」です。

分母と分子に√(ax+1)+3をかけて、分母の有利化をすると、(ax-2)/(x-2)(√(ax+1)+3)　となるので、(x-2)を消すために、a=1と解答したのですが、正解は違っていて、困っています。
（言いたいことがうまくお伝えできていなかったらすみません。。。）

解法の理解で困っているので、答えだけでなく、解き方も載せてくださると幸いです。
お手数をおかけしてすみません。

宜しくお願い致します。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

回答者に問題の式が正しく伝わるように、書き方に注意して下さい。

>f(x) = √(ax+1)-3/(x-2)
これは
　f(x) = [{√(ax+1)}-3]/(x-2)
の意味ですか？

そうであれば、
>分母と分子に√(ax+1)+3をかけて、分母の有利化をすると、(ax-2)/(x-2)(√(ax+1)+3)　となるので、

分子の有理化では？
分子と分母に掛ける式は「(√(ax+1))+3」
ですか?
3がルートの中か外か、明確に書きましょう。

掛ける式が(√(ax+1))+3」であれば
有理化した式が間違っています。
なぜ基本的な計算の間違いをして気がつかないのだろうね？

f(x)=…≠(ax-2)/(x-2)(√(ax+1)+3)　←　間違い！？

f(x)=…={(ax+1)-3^2)/{(x-2)((√(ax+1))+3)}
=(ax-8)/{(x-2)((√(ax+1))+3)}
この式がx→2の時収束する為には
　lim(x→2)(ax-8)=0
でなければいけないから
　2a-8=0 つまり　a=4

>(x-2)を消すために、a=1と解答したのですが、
つまり↑は間違い！！

a=4の時,収束を調べると
f(x)=(4x-8)/{(x-2)((√(4x+1))+3)}
=4/((√(4x+1))+3)
→4/((√9)+3)=4/6=2/3　(x→2)
となって確かに収束します。

お礼

info22_様の回答を見て、もう一度解きなおしたら正解にたどり着きました。くだらない質問で申し訳ありません。
また、数式に関しても明確でなく、申し訳ありませんでした。PCで数式を打つ機会があまりないもので、問題集に書いてある通りに…と思って書き込んでみたのですが、ちゃんと決まりがあるのですね。すみませんでした。
ご回答どうもありがとうございました。本当に助かりました。