三角関数の極限の問題です。

質問

極限の問題です。

はさみうちを使おうと思ったのですが、分母分子ともに、三角関数が入っているので、どうはさめば
いいのかわかりません(;_:)

lim[θ→+0]
-2(cosθ-1)/{sinθ^2+θ^2}＝？

はさみうちをつかわず、sinの極限に持ち込もうともしましたが、分子が足し算の形になっているの
で、どうしたらいいかわかりませんでした...

かれこれ半日…
相当手こずっています(x_x;)

誰か助けてくださいッ(泣)

回答No.3

htms42 · ベストアンサー

どのようないじくり方をされたのですか。

θ→０の時
ｓｉｎθ→０、ｃｏｓθ→１
ですね。
これをそのまま式に当てはめると
分母→０、分子→０になって値が決まりません。
でも０になるなり方が分母、分子で共通であれば約することが出来て極限値は一定になるかもしれません。
ｌｉｍ[x→0](ａｘ)／(ｂｘ)＝ａ／ｂ
です。
これが分かるためには
ｓｉｎθ→０でなくて→０への行きかたが問題になります。
ｓｉｎのグラフを見てもらうとθ＝０の近くでは直線になっています。
ラジアンで角度を表した場合、勾配は１です。
ｓｉｎθ　～θ　です。
(ｓｉｎθ)／θ　→１と書いても同じ内容です。
これが使えるように分母も分子も書き変えます。ｃｏｓはｓｉｎを使った表現に書き換えます。
１－ｃｏｓθ＝２（ｓｉｎ(θ／２)^2　→２(θ／２)^2　＝θ^2／２
（ｓｉｎθ)^2＋θ^2　→２θ^2
です。θ^2が約せます。

極限値が→０／０の形にならないのであればこういうことを考える必要はありません。→０／ａであれば極限値は０です。→ａ／０であれば極限値は無限大になります。この時はｌｉｍ[θ→０]の０の符号が問題になります。＋０と書かれているのはそのためです。でもこの問題では極限値が有限の値になりますから０の前の符号は問題になりません。

極限値を習った時にこういうことも習っているはずです。
半日かけたのであればこういうことも復讐できているはずです。
どういういじくり方をしたのか知りたい所です。
挟み撃ちの方法を使おうとしたと書いてあります。はさむ関数をどうやって探そうとされたのでしょうか。ｓｉｎ、またはｃｏｓと値が近くて動きの分かっている関数が見つからない限りははさみうちは使うことが出来ないはずです。大小関係も確認できていないといけません。挟み撃ちの関数を探すのは近似的に等しくなる関数を探すのと同じような内容の作業です。ｓｉｎｃｏｓの関数の動きが分かっていない限り探せないものです。

上で使ったθ→０の時の２つの式
ｓｉｎθ～θ
ｃｏｓθ～１－θ^2／２
はｓｉｎを直線で、ｃｏｓを放物線で近似するというものです。
極限値が決まるか決まらないかを知りたいだけであれば
ｓｉｎθ＝ａθ
ｃｏｓθ＝１－ｂθ^2
と置いて値が有限になるかどうかを確めればいいです。有限になるということが分かった段階でａ，ｂはどうなるかを調べてもいいのです。

大小関係で言うと
ｓｉｎθ＜θ
ｃｏｓθ＞１－θ^2／２
です。この大小関係を維持しながらθ→０で不等号の右の量も左の量も同じ極限値に近づいていく事になります。

＞分子が足し算の形になっているので・・・
と書かれています。
足し算の形になっていなければ　ａ／０か０／ａの形になるのですからそれで計算は終わりです。
０／０の形になるということを確めてから次のステップに行くという手順をとっていないように思うのですが。

お礼

丁寧に解説していただいてありがとうございます。

どのようにいじくったかということですが…

0/0の形になるということは、確認していました。
そこで、まずは、分母分子にcosθ+1を掛けて、sinθ/θの極限の形に持ち込もうとしたのですが…

そのあと、手が止まってしまいました。

そこで、極限が直接求まらないときは、挟み撃ちの定理を使う。
という方針で解こうとしたのです。

とはいえ、おっしゃるとおりで、はさむ関数を見つけることが出来ずに、sinθ、cosθのグラフを書
いたりして考えていましたが、結局諦めてしまいました。

まだ、極限の概念は習いたてで、理解が浅かったと反省しています。
いただいた回答を、読みながら考えていたのですが、考え方が全然違うなと思いました。

とくに『0になるなり方が分母分子で共通であれば、約することが出来て、極限は一定になるかもし
れない』ということから、θ→0のsinθの近似を考えるという手段は、初めて知りました。

でも、極限を考えるとは本来こうゆうことなのかと思って感動しました。

それに、sinθのグラフもcosθのグラフも見たことがあるのに関わらず、それがθ→0のときにそれ
ぞれ直線、放物線で近似されると考えたことがありませんでした。
とても面白いと思います！

学校で習ったときには、極限の概念がいまいちわからないまま進んでしまって、
問題は解けるのですが、違和感というか…曖昧なところがあったんです。

それが、だいぶわかるようになりました。
本当にありがとうございました。

これから極限の復習をして、しっかり理解したいと思います！

回答No.5

jaspachate

まず、他の方々がすでに回答されているように、sinθ/θの形に変形できるかどうかを見ます。極限がすでに知られているか、簡単に求められそうなもので表せるかどうかを見るのが常道です。
lim[θ→+0] -2(cosθ-1)/{sinθ^2+θ^2}
= lim[θ→+0] (sin(θ/2)/(θ/2))^2 / ( 1 + sin(θ^2)/θ^2 )

最後の項は (sinθ/θ)^2 かもしれませんが、結果は同じになります。
sin(x)/x→1 は有名なのでこれを使って簡単に、sin(θ/2)/(θ/2)→1、sin(θ^2)/θ^2→1 ですが、もし sin(x)/x→1 自体を証明したいのであれば、下記のようにできます。

f(x) = sin(x) - ( x - x^3/6 ) (x≧0)
を考えます。
f'(x) = cos(x) -1 + x^2/2
f''(x) = -sin(x) + x
f'''(x) = 1 - cos(x)
f'''(x)≧0 なので、f''(x)は単調増加、f''(0)=0 なので f''(x)≧0。
ゆえにf'(x)は単調増加、f'(x)=0 なので f(x)≧0。
従って、
x - x^3/6 ≦ sin(x) ≦ x
1 - x^2/6 ≦ sin(x)/x ≦ 1
∴ x→0 で sin(x)/x → 1

上記のようなはさみうちは sin(x)を x=0 付近でマクローリン級数に展開したとき、
sin(x) ～ x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ....
となることを利用しています。

しかしわざわざこのようにしなくとも、sin(x)は連続関数で微分可能ですから、微分の定義を使えます。つまり、
[{f(x+h)-f(x)}/h] → f'(x) (h→0)
∴ (sin(0+h)-sin(0))/h = sin(h)/h → cos(0)= 1 (h→0)

お礼

ありがとうございます！
sin(x)を x=0 付近でマクローリン級数に展開・・・

まだまだ、数学はしらないことがたくさんあるんだなあと思います。大学で数学を勉強するのが今から楽しみです。
f(x) = sin(x) - ( x - x^3/6 ) (x≧0)
から考えると、sin(x)/x→1 が証明できるということは分かりました。

数学は、証明する方法がたくさんあるので、好きです。

紹介していただいてありがとうございました！！

回答No.4

arrysthmia

お手上げになったら、級数展開をしてみるのも一法です。

sinθ = θ -(1/6)θ^3 +o(θ^5)
cosθ = 1 -(1/2)θ^2 + o(θ^4)
o(x) は、所謂ランダウの記号で、lim o(x)/x = 0 となるような何か
という意味です。(ひとつの関数を表している訳ではありません。)

これを問題の式に代入して、

分子 = -2 (cosθ - 1)
= (-2){ -(1/2)θ^2 + o(θ^4) }
= θ^2 -2 o(θ^4)
= θ^2 + o(θ^4)　　　　　　　　　　　　　　　　← o( ) の意味に注意

分母 = (sinθ)^2 + θ^2
= { θ -(1/6)θ^3 + o(θ^5) }^2 + θ^2
= { θ + o(θ^3) }^2 + θ^2　　　　　　　　　　　　　　　　← o( ) の意味に注意
= θ^2 + 2 θ o(θ^3) + o(θ^3)^2 + θ^2
= 2 θ^2 + o(θ^4)　　　　　　　　　　　　　　　　← o( ) の意味に注意

よって、
もとの式 = -2 (cosθ - 1) / { (sinθ)^2 + θ^2 }
= θ^2 + o(θ^4) / { 2 θ^2 + o(θ^4) }

lim[θ→0] は、分かりますね？

お礼

ありがとうございます。

『級数展開』とは、初めて聞きました。大学で習うんでしょうか？

ちょうど最近、別の問題を解いていた時ですが、
sinθをなんとかθだけで表す方法があったらいいなと思ったんです。
でもsinθの定義から、そんなことは有り得ないだろうと思っていました。

でも、o(x) を用いると、それが出来てしまう…ということですよね？

不思議な気がしますが
この方法で、答えが導けることはわかりました！

時間ができたら、級数展開について勉強したいと思います。

もし、わかりやすい本やサイトがあれば、紹介していただけませんか？

回答No.2

fukuda-h

sinの極限でしょうね。
分子分母に(cosθ+1)をかけて分子に(sinθ)^2を作ってこれで分子分母を割ればθ/sinθができて極限ですよ

-2(cosθ-1)/{(sinθ)^2+θ^2}
＝-2(cosθ-1)(cosθ+1)/{(sinθ)^2+θ^2}(cosθ+1)
=2(sinθ)^2/{(sinθ)^2+θ^2}(cosθ+1)
=2/{1+(θ/sinθ)^2}(cosθ+1)
θ→+0でしょう

お礼

ありがとうございました。
分子分母に(cosθ+1)をかけて分子に(sinθ)^2を作って

までは出来ていたのですが、そこで止まっていました。

回答No.1

kabaokaba

三角関数の極限の基本
(sinθ)/θ -> 1
にすればいいだけです．
・分母・分子をθ^2で割る．
・cosθ-1を半角の公式で sin^2(θ/2)に変形する
で終わりです．

お礼

ありがとうございました。
計算力不足ですね。。。