極限の計算問題・・・グラフを使わずに

質問

２つ連続の質問ですが、解説お願いします。

f(x)= (63x-9)/(x^2+9x)とし、
lim[x→±0]f(x)
lim[x→-9±0]f(x)

の極限が解答ではそれぞれ、マイナスプラス∞、±∞　となっています。
f(x)の増減表を書けばわかるのですが、
式変形（x^2で分母分子を割る、因数分解など）で求めようとすると上手くできません。
数学は苦手なので、詳しめの解説をお願いします。

回答No.5

alice_44 · ベストアンサー

←No.4 補足
消えたのではなく、
x = -9 近傍での f(x) の振る舞いを、
f(x) =｛ (63x-9)/x ｝× 1/(x+9)
と積に分解して考える ということです。

回答No.4

alice_44

f(x) = (63x-9)/{ x(x+9) } でしょう？
複雑な式変形をしなくても、
lim[x → ±0] (63x-9)/(x+9) と
lim[x → -9±0] (63x-9)/x を
計算してみれば解ると思いますが。

補足

> lim[x → ±0] (63x-9)/(x+9)
のf(x)にあったxはなぜ消えたのですか？

> lim[x → -9±0] (63x-9)/x を
も同様にf(x)にあった(x-9)はなぜ消えたのですか？

初歩的な質問ですみません…
解説お願いします

回答No.3

info22_

部分分数展開して
f(x)={64/(x+9)}-(1/x)
個々の分数式で極限がどうなるか考えればいいじゃないでしょうか？

lim[x→±0]f(x)の場合は
第一項は 64/9　に収束、第二項の「-(1/x)」は －(±)∞に発散
全体では －(±)∞に発散

lim[x→-9±0]f(x)の場合は
第一項は ±∞　に発散、第二項の「-(1/x)」は 1/9 に収束
全体では ±∞に発散

回答No.2

aurumnet

増減表をもちいてやればわかるならそれでいいのではとおもいつつも

f(x)=(63x-9)/(x^2+9x)

x=+0(限りなく0に近いが0ではない正の数)を代入すると
f(+0)={63*(+0)-9}/{(+0)^2+9*(+0)}
分子は-9に近づく、分母は+0に近づくので-∞に発散する

x=-0(限りなく0に近いが0ではない負の数)を代入すると
f(-0)={63*(-0)-9}/{(-0)^2+9*(-0)}
分子は-9に近づく、分母は-0に近づくので+∞に発散する
補足
0付近ではx^2と9xの絶対値をくらべると|x^2|<|9x|となるので
x→-0のときx^2+9x→-0となる

同様にx=-9±0を考えると
x=-9+0のとき
分子は負の数、分母は+0に近づくのでf(x)は－∞に発散する
x=-9-0のとき
分子は負の数、分母は-0に近づくのでf(x)は+∞に発散する

回答No.1

Tacosan

「増減表を書けばわかる」なら, そうすればいいじゃん. しない理由はないと思うな.
まあ, しいて言えば「分子と分母がそれぞれどう変化するかを考えろ」くらい?