数学

質問

a1=2,a[n+1]=a[n]/(a[n]+1) (n=1,2,…)によって定義される数列{a[n]}を考える。
(1)数列{a[n]}の一般項を求めよ。
(2)∑[n,k=1]a[k]a[k+1],∑[n,k=1]2^k/a[k]を求めよ。

解けません。
お願いしますm(._.)m

回答No.3

alice_44

それでよい。

回答No.2

ferien

a1=2,a[n+1]=a[n]/(a[n]+1) (n=1,2,…)によって定義される数列{a[n]}を考える。
＞(1)数列{a[n]}の一般項を求めよ。
ａn+1＝ａn／（ａn＋１）より、１／ａn+1＝（ａn＋１）／ａn＝１＋（１／ａn）
１／ａn＝ｂnとおくと、ｂn+1＝１＋ｂnより、ｂn+1－ｂn＝１
ｂn－ｂn-1＝１
　………
ｂ3－ｂ2＝１
ｂ2－ｂ1＝１
両辺を足すと打ち消し合うから、
ｂn－ｂ１＝ｎ－１
ｂ1＝１／ａ1＝１／２より、
ｂn＝ｂ1＋（ｎ－１）
　　＝（１／２）＋（ｎ－１）
　　＝（２ｎ－１）／２
よって、ａn＝２／（２ｎ－１）
＞(2)∑[n,k=1]a[k]a[k+1],∑[n,k=1]2^k/a[k]を求めよ。
ａkａk+1＝４／（２ｋ－１）（２ｋ＋１）より、
∑[n,k=1]a[k]a[k+1]
＝４｛１／１・３＋１／３・５＋……＋１／（２ｎ－１）（２ｎ＋１）｝
＝（４／２）｛（1－1/3）＋（1/3－1/5）＋……＋（1/(2n-1)－1/(2n+1)）｝
＝２｛１－１／（２ｎ＋１）｝
＝４ｎ／（２ｎ＋１）
２^k／ａk＝２^k（２ｋ－１）／２＝２^(k-1)（２ｋ－１）より、
Ｓn＝∑[n,k=1]2^k/a[k]
　＝２^0・１＋２・３＋２^2・５＋……＋２^(n-1)・（２ｎ－１）
２Ｓn＝２・１＋２^2・３＋……＋２^(n-1)・（２ｎ－３）＋２^n・（２ｎ－１）
Ｓn－２Ｓn＝２^0・１＋（２・２＋２^2・２＋……＋２^(n-1)・２）－２^n・（２ｎ－１）
－Ｓn＝－１＋（２＋２・２＋２^2・２＋……＋２^(n-1)・２）－２^n・（２ｎ－１）
　　＝－１＋２（２^n－１）／（２－１）－２^n・（２ｎ－１）
　　＝－１＋２・２^n－２－２^n・（２ｎ－１）
　　＝－３－２^n・（２ｎ－３）
よって、Ｓn＝∑[n,k=1]2^k/a[k]＝２^n・（２ｎ－３）＋３

でどうでしょうか？自分で計算して確認してみて下さい。

回答No.1

alice_44

b[n] = 1/a[n] と置いてみよし。