数学です◎

質問

解けません。解説お願いします。

初項a[1]が-7の数列{an}は、初項から第n項までの和をSnとするとき
2Sn=na[n+1]-9n
を満たしている。

(1)a[2]を求めよ。
(2)b[n]=a[n]/nとするとき、b[n]とb[n+1]の関係式を求めよ。
(3)数列{an}の一般項と∑[n,k=1]|a[k]|を求めよ。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

初項a[1]が-7の数列{an}は、初項から第n項までの和をSnとするとき
＞2Sn=na[n+1]-9n
＞を満たしている。

２Ｓn＝ｎａn+1－９ｎ
２Ｓn-1＝（ｎ－１）ａn－９（ｎ－１）両辺を引くと、Ｓn－Ｓn-1＝ａnより、
２ａn＝２（Ｓn－Ｓn-1）＝ｎａn+1－ｎａn＋ａn－９
ｎａn+1－（ｎ＋１）ａn＝９　……（１）

＞(1)a[2]を求めよ。
（１）にｎ＝１を代入して、
ａ2－２ａ1＝９，ａ2＝２×（－７）＋９＝－５

＞(2)b[n]=a[n]/nとするとき、b[n]とb[n+1]の関係式を求めよ。
（１）の両辺をｎ（ｎ＋１）で割ると、
ａn+1／（ｎ＋１）－ａn／ｎ＝９／ｎ（ｎ＋１）
ｂn+1－ｂn＝９／ｎ（ｎ＋１）

＞(3)数列{an}の一般項と∑[n,k=1]|a[k]|を求めよ。
９／ｎ（ｎ＋１）＝９｛（１／ｎ）－１／（ｎ＋１）｝
ｂn－ｂn-1＝９｛1/(n-1)－1/n}
　　　…………
ｂ3－ｂ2＝９（1/2－1/3｝
ｂ2－ｂ1＝９（1－1/2）　　両辺同士足すと打ち消し合うから
ｂn－ｂ1＝９（１－1/n）
ｂn＝ｂ1＋９・(n-1)／n
ｂ1＝ａ1／１＝－７より、
ａn／ｎ＝－７＋９・(n-1)／n
よって、ａn＝－７ｎ＋９ｎ－９
　　　　　　＝２ｎ－９
∑[n,k=1]|a[k]|
＝Σ（ｋ＝１～ｎ）（２ｋ－９）
＝２Σ（ｋ＝１～ｎ）ｋ－９Σ（ｋ＝１～ｎ）１
＝２・(1/2)ｎ（ｎ＋１）－９ｎ
＝ｎ（ｎ－８）

どうでしょうか？

回答No.2

ksd_hiro

(1)S[n]の定義により、S[1]=a[1]=-7
n=1のときの式より、2S[1]=a[2]-9=-14

(2)n=1のとき、2a[1]=a[2]-9
よって、a[2]/2-a[1]/1=9/2
n>=2のとき、
2S[n]-2S[n-1]={na[n+1]-9n}-{(n-1)a[n]-9(n-1)}
2a[n]=na[n+1]-(n-1)a[n]-9
na[n+1]-(n+1)a[n]=9
両辺をn(n+1)で割り、
a[n+1]/(n+1)-a[n]/n=9/n(n+1)
これは、n=1のときも成り立つ。

(3)(2)の答えの右辺を部分分数分解して書くと、
b[n+1]-b[n]=9{1/n-1/(n+1)}
両辺のΣをとって、
b[n]-b[1]=9(n-1)/n
これより、b[n]=(2n-9)/n
a[n]の一般項が求まれば、S[n]=n(n-8) が求まります。

お礼

ありがとうございます。