数学の問題教えて下さい。

質問

(3)　(オ)を求めるという問題です。
a1=11 　 an＋1-10=an-10/2n(an-10)＋1 (n=1.2.3・・・)で定義されて数列{an}がある。
bn=1/an-10　(n=1.2.3.・・)とおくことで、{an}の一般項を求める事が出来、
a11=(オ)である。
※解き方を教えて下さい。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

a(1)=11
a(n+1)-10={a(n)-10}/[2n{a(n)-10}+1]
(n=1,2,3…)で定義された数列{a(n)}がある.

b(n)=1/{a(n)-10}
(n=1,2,3,…)とおくと

b(1)=1/{a(1)-10}=1/(11-10)=1

b(n+1)
=1/{a(n+1)-10}
=[2n{a(n)-10}+1]/{a(n)-10}
=2n+1/{a(n)-10}
=2n+b(n)
だから
b(n+1)=2n+b(n)
↓両辺からb(n)を引くと
b(n+1)-b(n)=2n
↓nをkで置き換えると
b(k+1)-b(k)=2k
↓両辺をk=1～nまで加えると
Σ_{k=1～n}{b(k+1)-b(k)}=2Σ_{k=1～n}k
↓Σ_{k=1～n}{b(k+1)-b(k)}=b(n+1)-b(1)
↓Σ_{k=1～n}k=n(n+1)/2だから
b(n+1)-b(1)=n(n+1)
↓b(1)=1だから
b(n+1)-1=n(n+1)
↓両辺に1を加えると
b(n+1)=n^2+n+1
↓b(n+1)=1/{a(n+1)-10}だから
1/{a(n+1)-10}=n^2+n+1
↓両辺に{a(n+1)-10}/(n^2+n+1)をかけて左右を入れ替えると
a(n+1)-10=1/(n^2+n+1)
↓両辺に10を加えると
a(n+1)=10+1/(n^2+n+1)
↓nをn-1で置き換えると
a(n)=10+1/{(n-1)^2+n}
∴
a(n)=10+1/(n^2-n+1)
↓n=11とすると
a(11)=10+1/(11^2-11+1)
a(11)=10+1/111
∴
a(11)=1111/111

お礼

早々有難うございます。