数列の一般項の求め方

質問

ひさしぶりの数学なので感が鈍ってます…。

下記数列の一般項の求め方を教えてください。

a（1）=1 , a(n+1) =a(n)/｛2a(n)+3｝ (n= 1,2,…）で定義される数列a(n)の一般項を求める。

（）内は添え字です。

とっかかりがわかりません…。

よろしくおねがいします。

回答No.2

spring135

a(n+1) =a(n)/｛2a(n)+3｝=1/[2+3/a(n)]

1/a(n+1)=[2+3/a(n)]

b(n)=1/a(n)とおくと

b(n+1)=2+3b(n) (1)

極限値βがあるとすると

β=2+3β

β=-1　　　　　　　　(2)

(1)－(2)より

b(n+1)+1=3+3b(n)＝3[b(n)+1]
=3^n(b(1)+1]

a(1)=1より

b(1)=1

b(n)+1=3^(n-1)*2

b(n)=2*3^(n-1)-1

a(n)=1/b(n)=1/[2*3^(n-1)-1]

補足

丁寧な回答ありがとうございました。
逆数っていうのがポイントだったんですね。

ただ、式自体の流れはわかるのですが、

なぜ、極限を求める必要があるのか簡単にご教示いただけないでしょうか？
高校の教科書サイトを最初からひもといてはいるのですが、
極限を求める理由がよくわかりません。

お時間ある時でかまいませんので、よろしくおねがいします！

回答No.1

f272

a(n+1) =a(n)/｛2a(n)+3｝
を逆数にしてみたらどうかな？

お礼

逆数にするだけで、とてもわかりやすくなるんですね！
逆数ってこういう時に活躍するんだって、関心してしまいました。

ありがとうございます。