合同式について質問です。

質問

<問題>
a,b,cがすべて奇数のとき、方程式 ax^2+bx+c=0 は有理数の解を持たないことを示せ。

<解答>
x=v/u (u,vは互いに素な整数で u≠0) を解にもつと仮定すると
a(v/u)^2+b(v/u)+c=0 すなわち av^2+buv+cu^2=0 …(1)
2を法とする剰余系で考えると、条件から a≡1,b≡1,c≡1
ゆえに av^2+buv+cu^2≡v^2+uv+u^2 …(2)
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上記の解答の3行目から4行目の部分が分かりません、教えて下さい。

また、合同式を使わない解法もあれば教えて下さい。

回答No.1

hrsmmhr · ベストアンサー

aが奇数なら、v^2が奇数でも偶数でもav^2の偶奇はv^2の偶奇と一致します
sが偶数なら、いかなるv^2であってもav^2は偶数になってしまいます
その意味の合同式表記です

問題が、偶数・奇数が条件となっている問題なので、
この回答がもっとも直接的な解法ではないでしょうか？

お礼

なるほど！
とても分かりやすかったです。

私は学校で合同式について習ったことがないので、どうも苦手意識があるのですが・・・
もっと問題数をこなしてできるようにしようと思います。

回答ありがとうございました。

回答No.5

B-juggler

元代数学の非常勤です。体壊してねぇ～。今声がでないよ＾＾；

えっと、これは全部書かないとね。この後背理法か何かで、

証明がでて来るんだろうけれど、ここで、ａ，ｂ，ｃ　≡　１　として

おけますといってしまっていていいかどうか、全部見たい気がします。

２を法とする剰余系だから、まぁ単純に「群」が分かれば

２で割った余りの群　と捕まえてあげていい。

だから、別段、　ａ，ｂ，ｃ　≡　３　でもいいんだけど。

先が書いてないから分からない。　＃まぁ、２を法とするのなら　３≡１　なんだけど＾＾；

ちょっとだけ書き方が不親切だね。それだけでしかない。

あんまり難しく考えないことですよ。

これから気をつけてね。こういう質問のときは、

証明は全部書くこと！。　自分で判れば省略していいのではないからね。

回答者に分かる形では書いて置いてください。そうしないと、

何故ここでこういう方針を立てたのかが分からないからね。

せっかく聞いてくださるんだから、判ろうという気があるのなら

手は差し伸べるから＾＾；。　丸投げと思われないためにもね。

すごい先生方が揃ってるからね。σ(・・*)は除いてね＾＾；

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

大変失礼いたしました。

証明の続きを記載いたします。
↓
ここで、u,vは互いに素でu≠0であるから、u,vの少なくとも一方は奇数である。
すなわち、次のいずれかが成り立つ。
u≡0,v≡1;　u≡1,v≡0;　u≡1,v≡1
よって、いずれの場合も　u^2+uv+v^2≡1　となるから、(2)より
av^2+buv+cu^2≡1
これは(1)に反するから、与えられた方程式は有理数の解をもたない。

親切なご指摘ありがとうございました、以後気をつけたいと思います。

回答ありがとうございました。

回答No.4

hugen

条件から a=1+(偶数),b=1+(偶数),c=1+(偶数)
ゆえに
av^2+buv+cu^2
={1+(偶数)}v^2+{1+(偶数)}uv+{1+(偶数)}u^2
=v^2+uv+u^2+(偶数)
< u=1+(偶数)　　　　v=0+(偶数)　　なら >
=(1+(偶数))^2+(1+(偶数))(0+(偶数))+(0+(偶数))^2
=1^2+(偶数)+1*0+(偶数)+0^2+(偶数)

お礼

お手間を取らせてしまったのに申し訳ないのですが
私には難しくてよく分かりませんでした・・・

ですが回答ありがとうございました。

回答No.3

Tacosan

整数係数の 2次方程式 ax^2 + bx + c = 0 が有理数解 x = p/q (p と q は互いに素) を持つなら p, q はそれぞれ c, a の (符号付き) 約数になる
というのを使っていいなら, 素直に因数分解するだけでもできる.

お礼

そのような解法もあるのですね。
とても参考になりました。

回答ありがとうございました。

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。

＞2を法とする剰余系で考えると、条件から a≡1,b≡1,c≡1
つまりは、「a, b, cはすべて奇数であるから」と言っているだけですよね。

わかりにくければ、a＝ 2A+ 1, b＝ 2B+1, c＝ 2C+1とでもおいて
a*v^2+ b*u*v+ c*u^2＝ 2(なんとか)+ (v^2+ u*v+ u^2)

と書き下してみればどうでしょうか？

お礼

こんばんは。

合同式のままで考えるから煮詰まってしまうのですね・・・
これからは回答者さまのように考えてみようと思います。

回答ありがとうございました。