整数問題で困ってます

質問

a,b,cを整数とする。

x^3+ax^2+bx+c=0

が有理数Pを解に持つとき、Pは整数であることを示せ。

…………………………………………………

考え方や方針を教えて下さい。

回答No.3

koko_u_u

最初の解答の方がマシでした。

自分で変だと思った所を直しましょう。

お礼

ありがとうございます

答えは渡されてないもので

まだ粘ってみます

補足

…こうですか？

※P=u/vを、u,vは互いに素な整数でv>0に訂正します

※最初の回答で変だと思ったところから書きます

……
………

u^3=-avu^2-buv^2-cv^3

u^3=-v(au^2+buv+cv^2)

両辺が整数であるから矛盾はない。

さらに

u^3は整数vの倍数であり、かつ、uとv(v>0)は互いに素な整数としているから

v=1となり

P=u/v=u/1=u(整数)

よってPは整数となる

回答No.2

Tacosan

うん (2) から「u は v を約数にもつ」というのはちょっと無理がある. せめて (3) の右辺をよろしくしないと.

あと, u, v にはもうちょっと条件を付けた方がいいかもしれない.

お礼

ありがとうございました

補足

これでどうですか！

x^3+ax^2+bx+c=0…(1)

有理数Pを

P=u/v(v≠0)とする

(1)式に代入して

(u/v)^3+a(u/v)^2+b(u/v)+c=0…(2)

両辺にv^2をかけて

(u^3/v)+au^2+buv+cv^2=0

Pu^2+au^2+buv+cv^2=0

(P+a)u^2+(bu+cv)v=0…(3)

(i)u=0のとき(有理数Pの解が0のとき)

(2)式は

c=0

となりcが整数であることをみたす

よって0は整数だから有理数Pは整数となる

(ii)u≠0のとき

(3)式で恒等式から

・P=-a(整数)

・bu=cv
(b,c,u,vは全て整数だから両辺は矛盾しない)

以上(i)(ii)より

Pは整数である

回答No.1

koko_u_u

> 考え方や方針を教えて下さい

有理数解 P を u/v (u, v は整数) と置いて、続きを補足にどうぞ。

お礼

ありがとうございます

補足

…こうですか？

有理数Pを

P=u/v(u,vは整数)

とする

x^3+ax^2+bx+c=0……(1)

Pは(1)の解の一つだから代入すると

(u/v)^3+a(u/v)^2+b(u/v)+c=0

(u/v)^3=-a(u/v)^2-b(u/v)-c

ここで両辺にv^3をかけると

u^3=v^3{-a(u/v)^2-b(u/v)-c}……(2)

展開すると

u^3=-avu^2-buv^2-cv^3……(3)

∴(2)式より整数uは整数vを約数の一つにもつ。(※自分はここがなんか変だと思います)

さらに(3)式よりa,b,c,u,vは全て整数だから両辺整数となり(3)式は矛盾がない。

よってu/vは割切れ、整数となる

すなわちPは整数である