高校数学の問題について質問です！

質問

xの2次式f(x)=ax^2+2bx+c において、a,b,cは整数、f(0)とf(1)は奇数であるとする。
(1) aは偶数であることを示せ。
(2)2次方程式f(x)=0は整数解を持たないことを示せ。

数学が苦手で、まったく解答にたどりつけません。
どうか、解法をおしえていただきたいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

noname#231223 · ベストアンサー

(1)まずは、f(0)とf(1)を求めます。
f(0) = c
f(1) = a + 2b + c

f(0)が奇数であることから、cは奇数です。

偶数＋偶数＝偶数　偶数－偶数＝偶数
偶数＋奇数＝奇数　奇数－奇数＝偶数
　　　　　　　　　奇数－偶数＝奇数
奇数＋奇数＝偶数　偶数－奇数＝奇数
２×整数＝偶数

f(1) - c = a + 2b
左辺は奇数－奇数であることから偶数であるため、a + 2b は偶数となります。
2b は偶数であるため、a も偶数でないと a + 2b が偶数となりません。

偶数と奇数の足し算、引き算の部分の証明が必要な場合は、この部分も別途行います。

お礼

丁寧に解説していただき、ありがとうございました！

回答No.1

・真 綾・（@Ma-yan_bh1011）

(1)
a)f(0) = c
b)f(1) = a + 2b + c

a)よりcは奇数。
b)にてcは奇数、また2bは偶数であるので、f(1)が奇数になるためにはaは偶数でなくてはならない。

(2)は判別式を使用してください。

お礼

わかりやすく説明していただき、
本当に助かりました。ありがとうございます！