3次方程式の解の公式について

質問

3次方程式の解の公式について

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F

3次方程式のカルダノの方法の途中で

『y^3+py+q=0 を解くのに
y=u+v　と置き、
u^3+v^3+q+(3uv+p)(u+v)=0
とし、
u^3+v^3+q=0
3uv+p=0
となるu, vを求める』
とあります。

一般には、必ずしも『f(x,y)+g(x,y)=0　→　f(x,y)=0かつg(x,y)=0』
はいえないのに、ここではなぜそのような処理をしてよいのでしょうか？

どなたか分かる方がいましたら、よろしくお願い致します。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

←No.2 補足

(q/2)^2+(p/3)^3 が正でも、負でも、複素数の３乗根値は３個です。
３個の値どうしが、その中の１個の値に ω^k を掛けた関係になっているので、
ω^k[-(q/2)+√{(q/2)^2+(p/3)^3}]^1/3 や
ω^(3-k)[-(q/2)-√{(q/2)^2+(p/3)^3}]^1/3 で、
それぞれ３個づつの値を表せているのです。…とはいえ、その書き方は、
実数中心に考えているのか、複素数中心に考えているのかが中途半端です。

y = [ -(q/2) + √{(q/2)^2+(p/3)^3} ]^1/3 + [ -(q/2) - √{(q/2)^2+(p/3)^3} ]^1/3
ただし、２箇所の複素３乗根は、積が -p/3 となるペアを選ぶ。

とでも書いたほうが明確でしょう。Wikipedia でも、数行上には、こう書いてあります。
「積が -p/3」は、3uv + p = 0 によります。この条件によって、
一見 ９個にみえる解は、実は ３個であることが解ります。

数I でよくある √ が入った式変形でも、「両辺を２乗」したら、
後で、２乗する前の式に戻って、符合を確認せねばなりませんでした。
カルダノ法では、u^3 + v^3 = -q と (u^3)(v^3) = (-p/3)^3 から、
u^3, v^3 を解に持つ２次方程式を構成します。
uv = -p/3 の両辺を３乗して (u^3)(v^3) = (-p/3)^3 としたために、
後で、uv = -p/3 に戻って、ω^k の k を確認する必要が生じたのです。

お礼

alice_44さん、大変素晴らしいご回答どうもありがとうございます。

>３個の値どうしが、その中の１個の値に ω^k を掛けた関係になっている
>ただし、２箇所の複素３乗根は、積が -p/3 となるペアを選ぶ。
>uv = -p/3 の両辺を３乗して (u^3)(v^3) = (-p/3)^3 としたために、
>後で、uv = -p/3 に戻って、ω^k の k を確認する必要が生じたのです。

このあたりの解説は、大変勉強になりました。
なかなか自力では気付かなかったと思います。

本当にどうもありがとうございました。

回答No.3

nag0720

＞yの値は例えば(p,q)=(-3,2)の時などは実数にならないような気がするのですが、
＞本当に必ずyが実数値にとるu ,vを選択できているのでしょうか？

(p,q)=(-3,2)の場合は、(u,v)=(-1,-1)です。

そうではなく、(p,q)=(-4,2)のように、
(q/2)^2+(p/3)^3＜0
なら確かにu,vは実数にはならないですね。

この場合は、質問のところで示されたwikipediaのサイトに「還元不能の場合」で説明されていますが、
u,vが虚数になったとしても共役な複素数であるため、u+vは実数になります。
ただし、その実数を求めるためには、また別の三次方程式が現れてしまいます。

カルダノの公式も万能というわけではないようです。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

(q/2)^2+(p/3)^3＜0
の場合に実数解を求めるには、また三次方程式を解かなければならないみたいですね。

3次方程式の解を出すためにはまた3次方程式を解かなかればならない…。
なんだか不思議な感じですね。

No.2さんがおっしゃられているように必要十分条件を崩した議論で、さらに「(q/2)^2+(p/3)^3＜0
」の場合には実数解も求められないとなると、ほんとに正しいのだろうかという疑問が拭い去れないです…

回答No.2

alice_44

カルダノの時代、方程式を解くとは、
全ての解を見つけることではなく、
一つの解を見つけることを指していました。
カルダノ法は、この考え方に従って、
必要十分変形ではなく、十分変形になっています。
十分変形を行う場合、注意しなければならないのは、
前後の式変形に、十分性を損なう必要変形が
含まれないようにすることです。
何をやっているのか、解らなくなりますからね。
このことは、普段、我々が必要変形で考えるときに、
途中で十分変形が混じらないように気をつける
ことに相当します。

では、カルダノ法が全解探索に使えないかと言えば、
代数学の基本定理と因数分解の一意性から、
三次方程式の解は重根をこめて３個であることが
知れていますから、ともかく３個の解を見つけてしまえば、
それが全解なのです。
十分変形をたどって解を見つけ、最後に必要性を
別方向から確認する という流れになっています。
普段の必要推論→十分確認とは、逆の順番ですね。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

解が３個の件ですが、
wikipediaのページで
y=ω^k[-(q/2)+√{(q/2)^2+(p/3)^3}]^1/3+ω^(3-k)[-(q/2)-√{(q/2)^2+(p/3)^3}]^1/3
(k=0,1,2)
となっています。

一見解が３つのような気がしていたのですが、(q/2)^2+(p/3)^3が負になると、
３乗根の中身が複素数になってしまい、複素数の３乗根は解が３つで、
さらにωの累乗のkの値によって3通りあることを考えると
解の数は合計で3×3=9個になってしまうような気がするのですが。

どうなのでしょうか？

回答No.1

nag0720

f(x,y)=0かつg(x,y)=0　→　f(x,y)+g(x,y)=0
が成り立つから。

u^3+v^3+q+(3uv+p)(u+v)=0
の式からu,vを求める問題ではありません。
（そもそも、１つの方程式だけでは２変数の値を決定することはできません）

u,vがどんな値のとき、
u^3+v^3+q+(3uv+p)(u+v)=0
が成り立つかを調べる問題です。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

y^3+py+q=0・・・(1)
u^3+v^3+q+(3uv+p)(u+v)=0・・・(2)

(2)を満たすu , vの値は無数にあるので、そのうちのどれをとっても良いと思うのですが、
３次方程式は必ず１つは実数解を持つので、

(2)で求めたu , vは、最低限
u+v=y が実数になるものを含むことが必要だと思うのです。

u^3+v^3+q=0
3uv+p=0
を満たすu ,vでは、
y=[-(q/2)+√{(q/2)^2+(p/3)^3}]^1/3+[-(q/2)-√{(q/2)^2+(p/3)^3}]^1/3
となるみたいですが、

yの値は例えば(p,q)=(-3,2)の時などは実数にならないような気がするのですが、
本当に必ずyが実数値にとるu ,vを選択できているのでしょうか？