証明問題について

質問

「1>s>0,　t≧u>0 とする。３次方程式 x^3 + sx^2 + tx + u=0・・・(1)が３つの実数解α,β,γをもつならば-1<α,β,γ<0となることを証明せよ。」という問題です。

解答ではα>0と仮定して(1)にαを代入するとα^3 + sα^2 + tα + u=>0となり(1)の解にはなりえないから、α,β,γ<0
次に式が見やすいようにα=-a,β=-b,γ=-c(a,b,c>0)とおくと、解と係数の関係からa+b+c<1が得られる。従って0<a,b,c<1がいえると 書かれてあったのですが、
0<a+b+c<1から0<a,b,c<1の流れは明らかに必要条件ですよね。証明問題でこのように必要条件で答えにしても良いのでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.4

zabuzaburo · ベストアンサー

数学では「●である。ゆえに■である。したがって▲である」
といった調子で推論を進めて行きますが、
あとに出てきたものは、先に出てきたものの必要条件です。
▲は■の必要条件、■は●の必要条件であることは間違いありません。
そして、「必要条件であるが十分条件ではない」場合がほとんどであり、
たまたま「必要条件であり、しかも十分条件にもなっている」こともある、
というふうに理解しておくと良いと思います。
したがって、
>証明問題でこのように必要条件で答えにしても良いのでしょうか
というご質問に対しては、
「たいていの場合は、そうなんだよ」
というのが回答になります。

・「PならばQを証明せよ」
と言われれば、Pの必要条件としてQが普通に導かれればOKです。
そもそも逆が成り立つという保証はどこにも無いわけですから、
Pの必要十分条件としてQを得ようと頑張ってみても不可能な場合が多いです。
問題によっては、実際にはPとQは必要十分条件で、両方向に証明できるのに、
一方向の証明だけを要求してくる場合もあります。
こういう場合は結果として
「Pの必要十分条件としてQが得られちゃった」
ということもあるでしょうが、それはいっこうに構いません。
これに対して、
・「方程式『……』を解け」
といわれたら、方程式と解とは必要十分条件でなければなりません。
・「『……』となるようなxの値を全て求めよ」
と言われた場合も同様で、「題意の成立」と、答えの「x = ●または▲または……」とが必要十分条件となっていなければなりません。

>私は苦手で気にしだしたら止まらなくなって勉強が先へ進まなくて困っているのですが。
いや、私も全く同じ状態を経験したからこそ
いまは論理好きになっているだけの話です(^^)
ご質問の趣旨が理解できていなかったらごめんなさい。

お礼

zabuzaburoさんお返事どうもありがとうございます。zabuzaburoさんも同じような経験をされたと仰るだけあってすごく的をついた答えをしてくださって長年の疑問も氷解したようにおもいます。ありがとうございました。

>>証明問題でこのように必要条件で答えにしても良いのでしょうか
というご質問に対しては、
「たいていの場合は、そうなんだよ」
というのが回答になります。

そうだったんですね。なんだかあれこれ考える状態から救われたような気がします。私も最近そのことに気づき始めていたのですが、どうしても必要十分にこだわってしまっていました。思うに「方程式『……』を解け」というタイプの話と混同していたように思います。

必要十分のときは問題文にはっきりそれらしい言葉が書いてありますもんね。

ちょっと気になったことがあるのでもう一度お聞きしてもよろしいでしょうか。「●である。ゆえに■である。したがって▲である」はかならず必要条件を示唆しているとのことですが、「ゆえに」「したがって」などの日本語自体に必要条件が込められているのでしょうか。今まで答案で「ゆえに」などを使ってきましたが、それは全部そういう意味でもあったのでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.5

zabuzaburo

>「ゆえに」「したがって」などの日本語自体に必要条件が込められているのでしょうか。今まで答案で「ゆえに」などを使ってきましたが、それは全部そういう意味でもあったのでしょうか。

鋭いところを突かれましたね。
実はこれは結構深い問題です。

たとえばここに図形Aという名前の正方形があります。
すると、(馬鹿らしいですが)次のような推論ができますよね。
「Aは正方形である。ゆえに、Aの辺の長さはみな等しい」
上の記述は、実は次のような推論の省略形なのです。
-----
(1)図形Aは正方形である。
(2)図形Aが正方形ならば、Aの辺の長さはみな等しい。
ゆえに、
Aの辺の長さはみな等しい。
-----
一般に、命題P,Qがあるとき、
・Pである
・PならばQである
の2つから、結論としてQだけを切り出す際に、
「ゆえに」という言葉を使うわけです。
そして、(2)の根拠となるのが
(2')全ての図形★について、★が正方形ならば、★の辺の長さはみな等しい。
という定理です。必要条件はここに姿を隠しているのです。

「ならば」と「ゆえに」はレベルの違う概念であることを
心に留めておいてください。
「ならば」は、命題や条件を構成する「部品」です。
「ゆえに」は、いくつかの真の命題から新しい真の命題を生み出す「道具」です。
う～ん、混乱させちゃったかなぁ。

お礼

zabuzaburoさん何度もお越しいただいてどうもありがとうございます！！

＞「ならば」と「ゆえに」はレベルの違う概念であることを心に留めておいてください。「ならば」は、命題や条件を構成する「部品」です。「ゆえに」は、いくつかの真の命題から新しい真の命題を生み出す「道具」です。

ご説明していただいた具体例とあわせて考えてみて、何とか仰っていることが理解できたと思います。これから今まで苦手だった証明系の問題にチャレンジしてみます。一番ネックだったところの疑問が払拭されたのでやる気がわいてきました。どうもありがとうございます。

回答No.3

zabuzaburo

論理大好きのzabuzaburoとしては
見逃さずにおけないご質問ですが、
ひとつだけ尋ねておきたいことがあります。
s-wordさんは
「0 < a+b+c < 1 ならば必ず 0 < a,b,c < 1」というのと
「0 < a,b,c < 1 ならば必ず 0 < a+b+c < 1」というのでは、
どちらが明らかに正しいと思いますか？
それによって回答の仕方も変わるので、
ぜひ教えてください。

お礼

＞論理大好きのzabuzaburoとしては
見逃さずにおけないご質問ですが、

そうなんですか。私は苦手で気にしだしたら止まらなくなって勉強が先へ進まなくて困っているのですが。はぁ、すごいですね。

＞「0 < a+b+c < 1 ならば必ず 0 < a,b,c < 1」というのと「0 < a,b,c < 1 ならば必ず 0 < a+b+c < 1」というのでは、どちらが明らかに正しいと思いますか？

まだ上の方の「0 < a+b+c < 1 ならば必ず 0 < a,b,c < 1」ほうが受け入れやすいと思います。下の方はあっているんですかね。こちらは明らかに正しいとはとても思えないです。

回答No.2

hikaru_mac

no.1さんと同じ事ですがキーポイントだけ。
「p⇒q」を証明せよと言われた時は
「p⇔q」（「p⇒q」かつ「q⇒p」）を証明する必要はありません。
「p⇒q」だけでいいのです。

お礼

hikaru_macさんこんにちはお久しぶりです。なかなか論理は苦手で難しいです。あたまがいたくなるぅぅ。

回答No.1

hinebot

必要条件じゃなく十分条件ですね。念のためですが、
『ｐならばｑ （記号で表わせば，ｐ⇒ｑ） が成り立つとき，
「ｐはｑであるための十分条件」， 「ｑはｐであるための必要条件」 という』
はOKでしょうか。
ご質問の「0<a+b+c<1から0<a,b,c<1の流れ」ですが、確かに
0<a+b+c<1　⇒　0<a,b,c<1
はいえますが、
0<a,b,c<1　⇒　0<a+b+c<1
はいえないので、"0<a+b+c<1"は"0<a,b,c<1"であるための十分条件ですが、必要十分条件ではありません。

さて、そもそもの設問（命題）自体が、
「1>s>0,　t≧u>0 とする。３次方程式 x^3 + sx^2 + tx + u=0・・・(1)が３つの実数解α,β,γをもつ」⇒「-1<α,β,γ<0となる」
という十分条件を証明するものです。つまり、一方向だけいえれば良いんです。
従って、十分条件の証明では十分条件だけで大丈夫です。

「A⇒B、B⇒C　であれば　A⇒C」　というのと同じことです。

お礼

hinebotさんお返事どうもありがとうございます。

＞必要条件じゃなく十分条件ですね。念のためですが、

すいません、ちょっと書き方が不明確でしたね。「0<a+b+c<1から0<a,b,c<1の流れは明らかに必要条件ですよね。」とかいたのは0<a,b,c<1のことを指して必要条件と思ったのですが。

＞従って、十分条件の証明では十分条件だけで大丈夫です。

ああ、なるほど、そこの点を見落としてましたね。ところで十分条件と必要十分条件の見極めはどこで分かるのでしょうか。このもんだいでは、「ならば」で分かると思うのですが、ほかにこの場合は「十分」でこの場合は「必十」だというのがありましたら教えてください。