数学 以下の性質が成り立つのはなぜですか。

質問

有理数を係数とする2次方程式、もしくは高次方程式が
a＋b√c（a、b、cが有理数、√cが無理数）を解にもつとき
a－b√cもこの方程式の解になる。

回答No.2

eclipse2maven · ベストアンサー

a＋b√c　a－b√c　を　解とする有理数を係数とする2次方程式は一つ決まるよね。これを　F　としよう。
有理数を係数とする2次方程式、もしくは高次方程式は　F　で　割りきれることを示せば終わり。　証明は、あなたが、一つ前に質問した内容を使えばおしまい。

回答No.4

178-tall

マゴマゴしていると、「代数的数」論を持ち出され兼ねないテーマかも…。
修羅場とならぬうちに、「共役複素数」と似た初歩的議論で逃げ切れませんかね。

有理数を係数とした高次多項式を想定。
　P(x) = A(n)x^(n) + A(n-1)x^(n-1) + … A(1)x + A(0)　　　…(*)
>a＋b√c（a、b、cが有理数、√cが無理数）
が一つの零点だとすると…？

以下の筋書きは、単に「共役複素数」のケースをなぞってるだけ。
逐一、確かめてみてください。

a＋b√c の m (自然数) 乗も f＋g√c (f, g が有理数) と表せる。
　(a＋b√c)^m = f＋g√c
ならば、
　(a－b√c)^m = f－g√c　　　…(**)
が成立。
(これだけが頼り)

a＋b√c が (*) の零点
　　　↓
　P(a＋b√c) = F＋G√c = 0
　i.e. F = g = 0
　　　↓　(*)
　P(a－b√c) = F－G√c = 0

(なんと、先行コメントと同じ主旨のコメントですネ)

回答No.3

suko22

参考URLに具体的な数字を使った場合の問題と解法が載っているので参考にしてみてください。

P.S.現在、数学カテ中心に回答活動している私からあなたへのメッセージ。
上記URLの解を理解してからあなたの質問の問題をもう一度検討してみてください。
計算力と思考力を磨くいい練習と思って自分で頑張ってやってみてください。
答えが完成したら披露してください。
よろしくお願いします。
不本意ながらURLの貼り付けのみにさせていただきます。

参考URL：

http://www.riruraru.com/cfv21/math/gnm09os1.htm

回答No.1

tmpname

ヒント
今書いているa, b, cに関して、nを1以上の自然数とするとき、
「(a＋b√c)^n = s+t√cとなる有理数s,tは必ず存在し、かつ一意に定まる。この時(a-b√c)^n = s-t√cである」
事を頑張って証明しましょう。帰納法を使えば楽かな？