連立方程式の解

質問

ある論文(物理系、幾何学的な内容です）を読んでいたところ、以下の連立方程式が出てきました

a*c+U*a*d+V*b*d=0
W*c*f+d*e+V*d*f=0
W*a*f+U*a*e+b*f=0
a^2*(1+U^2)+b^2=1
c^2+d^2*(1+V^2)=1
e^2+f^2*(1+W^2)=1

a,b,c,d,e,fについて解くことで座標成分求まる。
ってな感じでサラッと流しているのですが、解が求まるのかがよくわかりません。後にこの式を使用して実験を行っているのでこの論文の著者は解が求まっているはずですが…

mathcad というソフトを使ってみたのですが（僕は完全な初心者です）このままでは答えが出ないようです。
2次式が答えを複数に複雑しているようですが、mathcad での解の求め方、他の方法での求め方、もしくは答えなど何でもよいので突破口を教えていただけないでしょうか？
よろしくおねがいします。

回答No.3

JCM

連立方程式

(1)　ac＋Uad＋Vbd＝0
(2)　Wcf＋de＋Vdf＝0
(3)　Waf＋Uae＋bf＝0
(4)　(1＋U^2)a^2＋b^2＝1
(5)　c^2＋(1＋V^2)d^2＝1
(6)　e^2＋(1＋W^2)f^2＝1

を、a,b,c,d,e,fについて解きます。簡単化のために

b＝xa,c＝yd,e＝zfとおくと、(1),(2),(3),(4),(5),(6)は、

(1')　ad(y＋U＋Vx)＝0
(2')　df(Wy＋z＋V)＝0
(3')　af(W＋Uz＋x)＝0
(4')　(1＋U^2＋x^2)a^2＝1
(5')　(1＋V^2＋y^2)d^2＝1
(6')　(1＋W^2＋z^2)f^2＝1

a,d,fは0でないことがわかります。(4'),(5'),(6')より、

(7)　y＋U＋Vx＝0
(8)　Wy＋z＋V＝0
(9)　W＋Uz＋x＝0

となるので、先ずこれをx,y,zについて解きますと、

x＝{UV－(1＋U^2)W}/(1＋UVW)
y＝{VW－(1＋V^2)U}/(1＋UVW)
z＝{WU－(1＋W^2)V}/(1＋UVW)

という解を得ます。そうすれば(4'),(5'),(6')より、a,d,fについて解くことができて、b,c,eも同時に得ることができます。

a＝±|1＋UVW|/√[(1＋U^2){1＋(1＋U^2V^2)W^2}＋U^2V^2]
b＝±sgn(1＋UVW){UV－(1＋U^2)W}/√[(1＋U^2){1＋(1＋U^2V^2)W^2}＋U^2V^2]
（複号同順）

d＝±|1＋UVW|/√[(1＋V^2){1＋(1＋V^2W^2)U^2}＋V^2W^2]
c＝±sgn(1＋UVW){VW－(1＋V^2)U}/√[(1＋U^2){1＋(1＋U^2V^2)W^2}＋U^2V^2]
（複号同順）

f＝±|1＋UVW|/√[(1＋W^2){1＋(1＋W^2U^2)V^2}＋W^2U^2]
e＝±sgn(1＋UVW){WU－(1＋W^2)V}/√[(1＋W^2){1＋(1＋W^2U^2)V^2}＋W^2U^2]
（複号同順）

回答No.2

ryn

解いたわけではないですが、
ご質問の式の a と b を入れ替えて
　bc + U*bd + V*da = 0
　de + V*df + W*fc = 0
　fa + W*fb + U*be = 0
　a^2 + b^2*(1+U^2) = 1
　c^2 + d^2*(1+V^2) = 1
　e^2 + f^2*(1+W^2) = 1
としたほうが対称的になってやりやすいかもしれません。

回答No.1

ekitaigenzou

6個の式があって，変数が6個なら，解けるはずですね．

そのかたは，「解析的」にとたのでしょうか．
つまり，式の形で示したのですか？
示したのだとすれば，どんな式ですか．

そうではなくて，数値的に解いたのでしょうか．
数値階は，反復計算しますので，ある意味でどんな式でも
解けます．

どちらでしょうか．

補足

早速の対応ありがとうございます。

解析的に（シンボリックに？）解いているはずです。
この時点で既知な値は U,V,W のみなので数値的に解くことはできません。よね？？

＞つまり，式の形で示したのですか？
＞示したのだとすれば，どんな式ですか．
連立方程式を解析的に解いた式ということなんでしょうか？
論文中には具体的に a= というような式を示していません。何事も無かったかのように次に進んでいきます。
因みに次の段階で a＋c=数値、b＋f=数値、d＋e=数値 というような形で表せるようになっていくはずです。
つまり、この段階で a～f を U,V,W で示せないと進めないんですよねぇ。

おっしゃっていることと焦点がずれているかもしれませんが、僕の書いている意味が分かりにくい場合はもう一度補足要求お願いします。