至急❕です。合同数が25200，７のそれぞれの3辺

質問

困っています。a ,b, c について式変形したのはいいのですが、それからどうにも進めません。どなたか解答していただけませんでしょうか。どうかよろしくお願いいたします。

(問題１)　面積が25200で、3辺の長さ a, b, c がいずれも100以上の整数である直角三角形が存在する。a, b, c を求めよ。ただし、a<b<c とする。
＜解答＞a=175, b=288, c=337

(問題２)　(問題１)の直角三角形と相似で、面積が７かつ3辺の長さ a, b, c がいずれも有理数の直角三角形が存在する。a, b, c を求めよ。ただし、a<b<c
＜解答＞a=35/12, b=24/5, c=337/60
＊リード文で、合同数＝6 (3, 4, 5)と、合同数＝5 (3/2, 20/3, 41/6)の面積、辺の長さとの関係だけは述べられています。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

(1)
p>qである互いに素な奇数p，qを使って，pqが25200の約数で100以上になるような組を考える。このときa=pq，b=(p^2-q^2)/2，c=(p^2+q^2)/2となる(ただしa，bの大小関係によっては入れかえが必要)。またpq<√25200=158.7という条件も満たすようにする。
25200=(2^4)*(3^2)*(5^2)*(7)だから，
(p，q)=(25，7)，(21，5)，(15，7)が見つかる。これで他の条件を確認してみると(p，q)=(25，7)が満足することがわかる。
もし満足するものがなければ原始ピタゴラス数以外に探索を広げるが，今回は必要なかった。

お礼

a,b,cの間で式変形ではストップですね。 p,qまで使うとは、全く頭にありませんでした。さすがだと思います。 早々にご回答いただき、本当にありがとうございました。お礼を申し上げます。

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回答No.1

f272

(1)
どうやって求めるのが簡単なんだろう？原始ピタゴラス数を考えて小さいほうから順に確認していけば答えにたどり着くのだけれど。
(2)
a=175，b=288，c=337の直角三角形の面積は25200だから，これと相似な直角三角形で面積が7であるときの各辺の長さは，7/25200=(1/60)^2だから
a=175/60，b=288/60，c=337/60
つまりa=35/12，b=24/5，c=337/60

お礼

この度は、迅速な解答をありがとうございました！おかげさまで、相似比→面積比の関係を問う問題なんだと気づきました。(平方数にこだわっていました。） 重ねてお礼申し上げます。

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