x^3+6x^2+18x+18=0の解を求めているのですが、先に進めま

質問

x^3+6x^2+18x+18=0の解を求めているのですが、先に進めません
x^3+6x^2+18x+18=0・・・(1)
y=x+2とおくと、x=y-2より(1)に代入すると
(y-2)^3+6(y-2)^2+18(y-2)+18=0から
y^3+6y-2=0・・・(2)
ここで、
u+v=y,uv=-2とすると
y^3=(u+v)^3=(u^3+v^3)+3uv(u+v)=(u^3+v^3)-6yより
y^3+6y-(u^3+v^3)=0・・・(3)
(2)(3)より(u^3+v^3)=2・・・(4)
uv=-2の両辺を３乗して、u^3v^3=-8・・・(5)
(4)(5)よりu^3,v^3を解とする２次方程式をつくることができ、次のように表せる。
z^2-2z-8=0
よって、z=4,-2
どちらがu,vでもxとyは変わらないので、
u^3=4,v^3=-2とする

ここで、4の３乗根と－２の３乗根が求められません。
ぜひ、アドバイスをお願い致します。また、もしよろしければxの値を求めるまでの展開を教えていただければと思います。

回答No.2

hachijo · ベストアンサー

u^3=4の解き方を一応書いておきます。

u^3-4=0
ここで4=a^3（aは実数）と置くと、
u^3-a^3=0
(u-a)(u^2+au+a^2)=0
二次方程式のほうを解の公式を用いて解くと、
u=(-1+√3*i)a/2、(-1-√3*i)a/2となり、これにu=aが加わって3つの解が出揃いました。

uv=2から対応するvが求まり、最終的にはx=y-2=u+v-2となります。

お礼

大変わかりやすいご説明誠ににありがとうございました。感謝申し上げます。

回答No.3

alice_44

u~3 = 4, v~3 = -2 なのでしょう？
普通に三乗根を求めるだけです。

1 の虚三乗根のひとつを ω = (-1+i√3)/2 と置いて、
u = (4の実三乗根), (4の実三乗根)ω, (4の実三乗根)ω~2、
v = -(2の実三乗根), -(2の実三乗根)ω, -(2の実三乗根)ω~2。

u, v とも三個づつ出てきますが、
uv = -2 を満たす組は、三組だけです。
その u, v の組から、三個の y が求まります。

実三乗根の値は、そのままルート記号で書いておくか、
近似値を求めるくらいしかない。

お礼

ありがとうございます。１の虚三乗根を利用するとは思いませんでした。

回答No.1

nag0720

＞ここで、4の３乗根と－２の３乗根が求められません。

どこまで求めたいの？
数学的な答えなら、４の３乗根、－２の３乗根のままで表現すればいいし、具体的な数値を求めたいのなら、指数計算ができる電卓やパソコンを使えばいいでしょう。
4^(1/3)≒1.5874
-2^(1/3)≒-1.2599

x=y-2=u+v-2=4^(1/3)-2^(1/3)-2≒-1.6725

なお実数解は１つだけで、虚数解が２つあります。