有理数と集合の問題です…

質問

こんにちは。
早速ですが、
『x=√2+1のとき、ax^2+bx+1=4√2+1となる有理数a,bを求めよ（ただし、集合の定理を用いて解け）。』という問題が解けません。
解の公式は使ってはいけない上に、集合のことがイマイチわからないので四苦八苦しています。
どなたか、わかりやすく教えてください。

回答No.3

shkwta · ベストアンサー

「集合の定理」というのが何がわかりませんが（教科書などの前の部分に説明があるのでは？）、この問題では次の定理が必要です。
「無理数と、０以外の有理数の積は無理数である」（証明は下記※）
これによれば、√2を０以外の有理数倍しても有理数になりませんので、√2の部分を独立して計算することができます。

xに(√2)+1を代入すると、ax^2+bx+1=(2a+b)(√2)+(3a+b+1)となります。これと問題の条件から
(2a+b-4)(√2) + (3a+b) = 0
ここで、2a+b-4=0でない限り(2a+b-4)(√2)は無理数であり、(3a+b)は常に有理数です。右辺の0は有理数ですから(2a+b-4)(√2)も有理数でなければならず、したがって2a+b-4=0です。あとは簡単でしょう。

(※証明）
αは無理数、pは有理数(p≠0)のとき、β＝αpとする。βを有理数と仮定する。するとα=β/pとなり、αは有理数である。これは矛盾であるから、βは無理数である。

お礼

そんな定理があるとは知りませんでした（学習不足ですね…）。非常に丁寧な解説、ありがとうございます。

回答No.4

masa072

No.2です。
中学生でしたか。失礼しました。
「有理数集合の元は有理数」というのは、「有理数の集まり（集合）の要素は全部有理数」ということを言っています。有理数を全部集めた集合が有理数集合（有理数体）だからです。
元は大丈夫ですね。

お礼

詳しい解説、ありがとうございます。理解がさらに深まりました。

回答No.2

masa072

No.1さんの方法でいいと思います。
集合の定理というのはたぶん、係数比較の際に、
「√2は有理数体の元ではない」
というところから、両辺の√2の係数と定数項がそれぞれ等しくなる（恒等式より）、ということを言えばいいと思います。

marionetさんが高校生であれば、以下の補足も見てください。
元→要素のことです。有理数集合の元は有理数です。
有理数体→有理数のこと。（体は、集合のどの2つの元を用いても四則演算ができる集合のことを言います（但し0で割ることは除きます））

お礼

言われてみるとわかることというのはこういう事なんですね…。よくわかりました。ありがとうございます。

補足

すいません、私は中学生なので、masa072さんの詳しい説明でも「有理数集合の元は有理数」の部分がわかりません…

回答No.1

thedepth547

こんにちは。

x=√2+1を、ax^2+bx+1に代入して
式を整理し、両辺の係数比較すればよいのではないでしょうか？

お礼

解説をありがとうございます、よくわかりました。