数A考え方の問題です

質問

C　U　L　T　U　R　Eが一文字ずつ書かれた７枚のカードがある。
これからのカードから５枚取り出して一列に並べる方法は全部で何通りあるか

これの問題の解説で

(1)Uが２つ含まれる場合

(2)すべて異なる場合

これの(2)の場合の内容がよくわかりません

Uのカードを一枚除いて異なる６文字から５文字とりだして並べる
なので6P5=720

のかいていたのですが、Uは２つあるので、U１　U2としたら、
U1が除く場合とU２を除く場合の二通りあるんじゃないんでしょうか

なぜ違うのか説明もいれ、教えていただきたいです

後、生徒十二人を、３人ずつ４組に分けるとき。

この場合は、組に名前もついていなくて、区別ができないので４！で割ります。この場合と
先ほどの違いもおしえてほしいです

回答No.1

kaztel-D4C · ベストアンサー

二つのUを、U1、U2、と置くということは、「二つのUが区別がつくということ」になります。これは問題の前提(2つのUは区別がつかない)とは異なりますから、あとで区別がつかない状態に戻す必要があります。
もしU1、U2とおく(二つのUは区別がつく)と仮定すると、以下の場合分けを考えます。
(1)U1が含まれ、U2が含まれない場合
(2)U2が含まれ、U1が含まれない場合

まず(1)については、C、U1、L、T、R、Eの6つから5つを選択し並べるので、その通りは
6P5=720になります。
(2)についても同様で、6P5=720となります。
しかし、先ほど言ったように、実際にはU1とU2は区別がつきません。
ですから、例えば(1)でCLTREU1と並ぶのと、(2)でCLTREU2と並ぶのは、同じとみなされます。
このようにして考えると、全ての通りにおいて(1)と(2)ではダブりが発生してしまいます。
よって(1)+(2)=720+720=1440ですが、同じ並び方が二つずつ存在するので、結果2で割って、720になります。
ですが、こう考えるのは遠回りです。最初から問題の前提に沿って、Uを一つ消去して考えた方が、答えには早く到達出来ます。

次に、生徒12人を3人ずつ4組に分ける、ですが
これはまず4組の区別がつくという仮定から始めます(A、B、C、Dの4組に分けるなど)。
するとその通りは、12C3×9C3×6C3×3C3となります。
ですが、実際は区別がつかないので、これら4組が組単位で入れ替わっても同じ並びとみなされます。
具体的には、区別がある段階では、ABCDと並んでいるのとCABDと並んでいるのでは違う配列としますが、4組の区別がつかないときはその入れ替わりはすべて同じとみなされます。
つまり、4組が組単位で並び変わる総数、4!通り、同じ通りが出てくるということです。
ですから、さきほどの12C3×9C3×6C3×3C3を4!で割る必要が出てきます。

質問にあった2題に共通している点は、区別のつかないものを、一度区別がつくと仮定し、後から戻すと解けるということです。
ただし、CULTUREの方の問題は、それを考えると遠回りになるというものでした。

以上が回答です。少々わかりにくいかもしれませんが、勉強の助けになれば幸いです。