順列：CとP

質問

例えば、「4人の男と3人の女を一列に並べる。女が隣り合うことがない場合は何通りあるか」という問題であれば、
まず男を並べ(4!通り）、
○男○男○男○男○
５つの○から３つの○を選び、そこに女を入れていき(5P3通り…★1）、
答えは4!×5P3通りとなりますよね。

しかし、「7文字、aa,bb,cccについて、一列に並べる。２つ以上cが連続しない並べ方は何通りあるか。」という問題になれば、
まず、aとbを並べ(4!/2!2!通り）、
○a○a○b○b○
５つの○から３つの○を選び、そこにcを入れ(5C3通り・・・★2）、
答えは4!/2!2!×5C3通りとなりますよね。

人は区別され、アルファベットは区別されない、ということですが、そもそもCとPの定義は「異なるｎ個のものから『r個選んで並べる(P)』、『r個選ぶ(C)』」だったはずです。
なので、この場合CとPどっちを使ったとしても、人は区別されてるしアルファベットも区別されてますよね？
★1と★2でそれぞれCとPを使い分ける理由がわかりません。
わかり易く解説できる方お願いします。

回答No.3

Lokapala · ベストアンサー

次のように考えましょう。

＜アルファベットの場合＞
ｃが入れる場所、つまり○は５つある。まずその５つからｃが入る３つを選ぶ（5Ｃ3）。ｃは区別できないので、答えは5Ｃ3通り。

＜人の場合＞
女が入れる場所、つまり○は５つある。まずその５つから女が入る３つを選ぶ（5Ｃ3）。その上で、その三か所に女を並べる（3Ｐ3）。つまり、女の並べ方は5Ｃ3×3Ｐ3＝5Ｐ3。

これでどうでしょうか。

回答No.5

arrysthmia

5P3 でも 5C3 でも、「異なるｎ個のものから」に当たる 5個のもの
（この場合、全ての○の位置）は、区別しています。
P と C の違いが生じるのは、選ばれた 3個のものを区別するかしないか
という点です。

★1 の場合、3人の女を区別するというよりも、そのことに起因して、
3人が占めることになった○同士を区別する。カオリちゃんの居る○と
アオイちゃんの居る○と シホちゃんの居る○は、それぞれ異なる○
という訳です。

★2 の場合、選んだ 3個の○に入れる c を相互に区別しないので、
c が占めることになった○同士が区別されない。

回答No.4

dxdydzdw

もう大体おわかりになっているのじゃないかと思いますが、蛇足を。
「女」はそれぞれ別のものと考えますね。たとえばユリカちゃんとミカちゃんとアイコちゃんとしますと、例えば
　男・ユリカ・男・男・ミカ・男・アイコ
と
　男・ユリカ・男・男・アイコ・男・ミカ
とは、違う並べ方です。〔★１〕
ところが、もしこの女性三人が一卵性の三つ子であって、服装も同じでしゃべりもしない、全く区別のつかないものであれば、さっきの二つは区別かつかず、
　男・女・男・男・女・男・女
というひとつの並べ方としてしか認識できません。この場合はアルファベットのｃが３つある場合と全く同じです。女の並べ方には意味がなく、女がどこに入るかということだけに意味があります。〔★２〕

つまり、
＞人は区別されてるしアルファベットも区別されてますよね？
ではなく、
★１では区別されているのは個々の人々。それの並び方を考えるからPを用いる
★２では区別されているのはアルファベットの入る場所。それの組み合わせを考えるからCを用いる
わけです。微妙に違う問題でやるからわかりにくいのかなと思います。
何だったら★１と、「一卵性四つ子の男と一卵性三つ子の女で男どうし、女同士で区別がつかない場合の★１」とを比較してみればわかりやすいでしょうかね。

回答No.2

Tacosan

1問目は「何を区別したい」から P を使い, 2問目は「何を区別する必要がない」から C を使っているか, 理解できますか?

回答No.1

hobbit-m

この解法の場合、選ぶ対象が人や文字でなく、○で示された場所になります。
　○つまり場所は区別される。
では、納得いきません?

お礼

回答有難うございます。
>○つまり場所は区別される。
これは納得できました。
しかし、★1と★2のように、何故同じところ(?)をCとPで使い分けているのでしょうか。そこが1番知りたいところなのです…。