この問題の解き方を教えて下さい

質問

7p-5q=1を満たす整数の組(p,q)について、
pが正の二桁の整数となるような整数の組(p,q)は全部で何組あるか。

という問題です。
どうか解説の方よろしくお願いします。

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

5q=7p-1 …(1)
q=p+(2p-1)/5 …(2)
2p-1=5m …(3)

(2)に代入
q=p+m …(4)

(3)から
p=2m+(m+1)/2　…(5)
m+1=2n
m=2n-1 …(6)
(5)に代入
p=2m+n=2(2n-1)+n=5n-2　…(7)

(4)に(6),(7)を代入
q=(5n-2)+(2n-1)=7n-3　…(8)

(7)に正整数pの2桁条件を適用
10≦p=5n-2≦99
12≦5n≦101
3≦n≦20

よって(p,q)の通り数は(7),(8)から
(p,q)=(5n-2,7n-3), (n=3,4,5,6, ... ,19,20)
の20-3+1=18通り。

回答No.7

alice_44

××(←二文字自粛)は放っといて、
No.3 で割愛した部分を補充する。

7 を 5 で割ると、1 余り 2。
7 を 2 で置き換えて、二数を 5, 2 にする。
5 を 2 で割ると、2 余り 1。
5 を 1 で置き換えて、二数を 2, 1 にする。
2 は 1 で割り切れる。割り切った 1 が、
最初の二数 7, 5 の最大公約数。
…これが、ユークリッドの互除法。

その各割り算の式を「余り = 」の形に書いて、
1 = 5 - 2×2,
2 = 7 - 5×1.
中間の余り 2 を代数消去すれば、
1 = 5 - (7 - 5×1)×2 = 7×(-2) + 5×(1+1×2)
が出る。

回答No.6

mister_moonlight

いずれにしても、(p,q)の特別解が1個解れば良い。

pとqの特別解(＝具体例)をα、βとする。
7p-5q=1　‥‥(1)、7α-5β＝1　‥‥(2)
(1)-(2)　より、7(p-α)＝5(q-β)　となり、5と7は互いに素から　mを整数として、p-α＝5m q-β＝7m　と表せる。
そこで、特別解を求めると(α、β)＝(3、4)だから、Pとqの一般解は　p＝5m＋3、q＝7m＋4。
条件から　10≦5m＋3≦99　よつて、2≦m≦19。
つまり、整数mの個数は　19-2＋1＝18　だから、求める個数は18個。

pもqも共に2桁の整数なら、上の条件のほかに、10≦7m＋4≦99　→　1≦m≦13　だから結局　2≦m≦13になるから　12個となる。

回答No.4

spring135

No.2です。
訂正します。
t≧2です。よって18組。

回答No.3

alice_44

7・7 - 5・10 = -1 は、何となく気がつく。
これと 7p - 5q = 1 を辺々加えて、7(p + 7) - 5(q + 10) = 0。
7(p + 7) = 5(q + 10) だが、7 と 5 は互いに素なので、
p + 7 = 5k, q + 10 = 7k となる整数 k が在る。
p が正の二桁の整数となるような k は、
不等式 10 ≦ 5k - 7 ≦ 99 を解いて 3.4 ≦ k ≦ 21.2 より、
k = 4, 5, 6, …, 21 の 18 個。

最初の 7・7 - 5・10 = -1 を組織的に見つけるには、
7 と 5 に対してユークリッドの互助法を行えばいい
のだけれど、その辺は煩瑣だから、勘で見つけることにしとく。

回答No.2

spring135

7p-5q=1 (1)
これを満たす一組のp,qをa,bとすると
7a-5b=1 (2)
(1)-(2)より
7(p-a)=5(q-b) (3)
7と5は互いに素なので
p-a=5t
q-b=7t
つまり
p=5t+a
q=7t+b (4)
tは正の整数
目算により
a=3
b=4 (5)
を選ぶことができる。
従って、
p=5t+3
q=7t+4 (6)
題意より
10≦p＝5t+3≦99
これより
1≦t≦19
よってpが正の二桁の整数となるような整数の組は19組
確認
t=1
p=8,q=11 7p-5q=56-55=1

t=19
p=98,q=137 7p-5q=686-685=1

回答No.1

noname#126099

p=13,18,23,28,33,38,43,48,53,58,63,68,73,78,83,88,93,98
qは逆算してね
ちなみに18通り

こんばんは

息子に聞いたら上記の答えが返ってきました
合っているかどうか私はわかりませんが試してみてください