場合の数の問題で・・・

質問

白玉６個、赤玉２個、黒玉１個の合計９個の玉がある。ただし、同色の玉どうしは区別がつかないものとする。
　９個の玉を左から横一列に並べる
１、並べ方は全部で何通り？
２、赤玉２個が隣り合う並べ方は何通り？
３、赤玉と黒玉が隣り合う並べ方は何通り？
４、二つの並べ方のうち、一方を180度回転させると他方に重なる時、
　　この二つの並べ方は同じ並べ方であるとみなす事にするような並べ方は
　　何通り？
５、平面上に、９個の玉を円形に等間隔に並べるとき、並べ方は何通り？

こんな問題なんですが、カードとかで、１，２，３とか番号がついてる
ならば、Pを使って、9P9とすればいいんですよね？でも、区別がつかない
とわからないです。解き方を問題数が多いと思いますが、丁寧に説明して
くださる方お願いします。後、よろしければ、PとCの使い方の区別の仕方
を教えてください。お願いします！

回答No.4

kony0 · ベストアンサー

４．なんですけど、なんか私の解釈とみなさんの解釈が違うような・・・

私の解釈は、
１．の並べ方のうち、左右対称なものMとおり、左右非対称なものNとおりとすると、
左右非対称なものについて、２個ずつ１セットになる。
(たとえばWWWWWWRRBとBRRWWWWWWは、順列としては違う並べ方であるが、４．の題意的には同じ並べ方）
ということで、求める並べ方は M + N/2 通り。

という考え方なのですが。128通りが答えになります。

みなさん、上記の「M通り」を求めようとされているのですが・・・どっちが正しい解釈なのでしょうか？

回答No.7

oruka

う～ん、これって結構難しい問題ですよ（＾＾；
ご質問中からＰとＣの使い方の区別がまだ難しいみたいですが、そのあたりの基本からはだいぶひねりが加わった応用レベルです。
解答は他の方の通りですが、読んですぐに理解できますか？
（４の解釈については＃４さんのが自然だと思います、私は問題文を一読してこの解釈しか思い浮かびませんでした。多少言葉たらずな問題だとは思いましたが）

ＰとＣについてのみ少し触れておきます。
10P2:１０個から２個を選び出し、その２つを順に並べる方法
10C2:１０個から２個を選び出す方法
というのはお決まりの説明ですね。
なぜ「選び出し」さらに「それを順に並べる」Ｐの方を先に習うかというと、そちらの方が「選び出す」だけのＣよりも求めるのが楽だからです。不思議ですね。
Ｐは次のように考えることで直接求められます。
選んだ２つを並べるの箱Ａ、Ｂを先に用意しておきます。Ａに入れるものを選ぶ方法は10通り、次にＢに入れるものを選ぶ方法は(1個減っているから)９通り。よって１０＊９通り。
これに対してＣの「選び出す」だけ、はうまいモデルが考えられないのです。
だからＰのモデルを使って少し回り道をして考えます。(並べなくてもいいのに)ひとまず２個選んで並べることにします。この方法は10P2通りですね。で本来並べなくてよかった(選び出すだけでよかった)わけですから、Ａ，Ｂの
箱の並び替えのぶんだけ多く数えすぎてしまっているので(重複といいますね)そのぶん後から割り算しておくのです。10C2=10P2÷(2個の並び替え）です。２個の並べ替え＝２！ですから教科書の公式が求まるわけです。

「１０人クラスから委員長と副委員長を選ぶ方法」なら10P2ですし、
「１０人クラスから図書委員２人を選ぶ方法」なら10C2となるわけです。
これがＰとＣの使い分けの基本ですが、問題によってどちらのモデルと数え方が一致しているのかをそのつど考えるようにしてください。こういう問題はＰ、こういうときはＣ、などと公式的に覚えるのは間違いのもとです。必ず自分の中にＰとＣの基本イメージをまず完成させて、具体的な問題でどちらをどうつかうとよいか工夫して探すように心がけてください。
まずは基本的な例題をいくつかこなしてごらんになってはどうでしょう。
質問の問題はこの力が完全に身についたか調べるという意味ではよい例でしょう。ＰとＣを完全に自分のものにするとこんなに複雑な問題が解けるようになるのです。このレベルの問題なら解説が完全に理解できるだけでもかなり十分ですよ。がんばってくださいね。

回答No.6

nozomi500

＃１です。
ひょっとして、私が最初に「Ｍ通り」のヒントをだしたもんで、つられた方が多いかな？
たぶん、出題者の意図は、「Ｍ+Ｎ/2通り」なんだとおもいますね。
（とくに、5、の「円」につながることを考えると。）

質問者さん、
＃３のご回答が「ＰやＣの解釈」としてはいちばんわかりやすいと思いますので、しっかり理解してください。

回答No.5

noname#24477

なるほど
問題文を読み直すと＃４さんの解釈も、もっともです。そのほうがいいのかも。

そうすると問題文の日本語が少し変、と逃げておきます。
「この二つの並べ方は同じ並べ方であるとみなす事にすると、異なる並べ方は」
ぐらいの文章でどうでしょう。

回答No.3

noname#6248

区別がつかない時ならばその並び方で割り算してしまえば良いんですよ。
９個全て見分けが付くものとして考えた後に、実は同じじゃん！を減らすんです。

１）
Ａ～Ｉの英語をならべると１×２×３×４×５×６×７×８×９通りですよね？(これをＸ通りとする)
でも実はＡ～Ｆが白、ＧとＨが赤、Ｉが黒だった…みたいな
仮にＡＣＤＥＢＦＧＨＩと並んだとします
Ａ～Ｆだけを見た時、これらは同じなのでＡ～Ｆまでの並び替えは考えなくても良いわけです
何が言いたいかと言うと、この場合
６個の並び替えの数で割り算してやれば良いと…
同様にＧとＨは逆でも同じですから
２個の並び替えの数で割り算

１×２×３×４×５×６(これをａ通りとする)
１×２(これをｂ通りとする)
Ｘ÷ａ÷ｂが答えです→つまり９！÷６！÷２！と言う事ですね。
解らないようならばカードを作って実際試してみてくださいな。

２）
赤が２つ並ぶ→２つで１つと考えてしまうと解りやすいです
１×２×３×４×５×６×７×８通り(これをＸ通りとする)
白は入れ替わっても良いので
１×２×３×４×５×６(これをａ通りとする)
赤は今回２つ重なっていますが実際には順番がありますが入れ替わっても同じなので考えない
と言う事でＸ÷ａが答え

３）
赤１つと黒１つを２つで１つと考えてしまいましょう
全体は１×２×３×４×５×６×７×８通り(これをＸ通りとする)
白同士は入れ替わっても良いので
１×２×３×４×５×６(これをａ通りとする)
赤同士は入れ替わっても良いので
１×２(これをｂ通りとする)
赤と黒は順番を考えると２通りある
Ｘ÷ａ÷ｂ×２が答え

４）
左右対称の場合がｎ通りとすると「全体」－「ｎ通り」が答えですよね？
じゃあ左右対称の時ってどんなのかを考えてみてください。
良く見ると黒１つは必ず真ん中でなければ左右対称になりません
○○○○●○○○○になります。
左右対称だから左の４つが白３個、赤１個になっていれば良い…もう答えは見えたはずです

５)
これは、「Ａ～Ｉを一列に」を「Ａ～Ｉを輪のように」としているだけです。
全体Ｘの通りが減るだけで考え方は１と同じです。

>PとCの使い方の区別の仕方
ＣやＰは意識して使うと馬鹿になるので止めたほうが良いです。
５！÷２！を書くと面倒なのでＰを使い、
(５！÷２！)÷(５－２)！を書くのが面倒なのでＣを使っているだけです。
確立がビシバシ解けてから使うようにしたほうが良いかもしれません。

回答No.2

noname#24477

ＰとＣの違いは並べるか、並べないか、ですが
この問題のように区別がつかないものを並べるときはＣのほうが
やり易いときがあります。

１．玉をおく場所が９個あると考えます。黒の場所を１つ、残り８ヵ所から
赤の場所２つ選びます。残りが白です。少ないほうから考えたほうが計算は
楽です。
　９Ｃ１＊８Ｃ２

２．赤玉１つで考えても一緒です。
　８Ｃ１＊７Ｃ１

３．（赤黒）をまとめて１個として数えると
　８Ｃ１＊７Ｃ１
　　（黒赤）も同じだけあるから２倍
　２＊８Ｃ１＊７Ｃ１
　　そうすると（赤黒赤）を両方で数えてしまうからその分を引く。
　２＊８Ｃ１＊７Ｃ１－７Ｃ１

４．黒を真ん中に片側に白３、赤１を並べれば反対側は自動的に決まる。
　４Ｃ１

５．どんなに円形に並べても黒の横で切り離せば、
　黒を先頭に（１列に）並ぶのと同じ。
　８Ｃ２

回答No.1

nozomi500

＞PとCの使い方の区別の仕方 を教えてください。お願いします！

とにかく、基本に立ち返って（立ちかえる以前に、まずはじめにつかむこと？）
ヒント。

２：二つの赤玉をくっつけて「１つ」のものとして考える。
４：1こしかない黒を真ん中に置くのは決定。両側に赤1、白3があるから、片方だけ考える。

５：「端」がなくなったわけだから、1のうち，端っこのぶんをダブりとかんがえる。