外接球について

質問

球Ｐに内接する四面体ＡＢＣＤがある
ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡ＝a、ＣＤ＝b、∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＤ＝90゜とする
球Ｐの半径をa、bを用いて表せ

という問題で、そもそも立体図を描けず詰んでいます 立体図の書き方と解き方を教えてください

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

△BCDは底辺BCの長さがaでBCに垂直な辺CDの長さがbの
直角三角形。
△ACDも底辺ACの長さがaでACに垂直な辺CDの長さがbの
直角三角形。
この２枚の直角三角形を重ねてから、CDを軸にして２枚を開き、
BとAとの距離がaになった時のABCDで出来る４面で囲まれた
立体が四面体ＡＢＣＤです。フリーハンドで描いてみて下さい。
ABを2分する点をEとすると△CDEも∠ECD=90゜の直角三角形
となり、球Ｐの中心は、この面上にあります。
そして、辺CE上で点Cからa/√3離れた点をFとすると、
FA=FB=FCとなるので、球Ｐの中心は点Fを通り面ABCに垂直な
直線上にあることになります。
従って、△CDEの面上にCDとの間隔がa/√3となる平行線を
引き、その線上の、点Cと点Dからの距離が等しくなる点が
球Ｐの中心です。

お礼

ありがとうございます
しかし
＞この２枚の直角三角形を重ねてから、CDを軸にして２枚を開き、
BとAとの距離がaになった時のABCDで出来る４面で囲まれた
↑これどうやって図で表すんですか？

回答No.5

info22_

#2,#4です。

A#2の補足質問について

>CH=(2/3)(√3/2)AC=a/√3
正三角形ABCの頂点Cと外心Hまでの距離CHを予め求めて
次の計算で使います。

直角三角形△CHGに三平方の定理を使って、外接球の半径R=GHを求めます。
>R^2=CG^2=CH^2+GH^2=(1/3)(a^2)+(b/2)^2
>∴R=√{(1/3)(a^2)+(1/4)(b^2)}

>これはなにをしてるんですか？
四面体ABCDの外接球の半径Rを求めています。

お礼

なるほど
CH=(2/3)(√3/2)AC=a/√3はどういう計算をしたのですか？

回答No.4

info22_

#2です。

A#2の補足について

>△ＡＢＣの二つの辺に三角形がくっついたみたいな形になったんですが…
それで良いでしょう。
二つの直角三角形△ACDと△BCD（辺CDを共有）が正三角形ABCの辺ACと辺BCにくっついた
形になります。
前の貼付図とは異なる方向から見た図を添付しておきます。
立体的な把握ができるといいですが...。

お礼

Ｃが奥でＡ、Ｂを手前に見たらなんとなく立体的に見えました
ありがとうございます

回答No.3

yyssaa

↑これどうやって図で表すんですか？
＞
△ABCを底面として、２辺BCとACにそれぞれ直角三角形を立てる。
＃２さんの図の通りです。

お礼

それが表せないんです…

補足

辺CE上で点Cからa/√3離れた点をFとすると、
FA=FB=FCとなるので、球Ｐの中心は点Fを通り面ABCに垂直な
直線上にあることになります。

どうしてこうなるのですか？

回答No.2

info22_

立体図は貼付図のようになります。
四面体ABCDの描き方は、一辺の長さaの正三角形ABCを描き、
次に、頂点Cを通り△ABCの面に長さbの垂直な辺CDを描き、
点DとA及びBと結べば、四面体ABCDの図が完成します。、

△ABCの外心をH、Hを通り△ABCに垂直な垂線GHが「GH=b/2」となる点Gをとると
AG=BG=CG=DGを満たすので点Gは球Ｐの中心となります。
球Pの半径をRとすると
CH=(2/3)(√3/2)AC=a/√3
R^2=CG^2=CH^2+GH^2=(1/3)(a^2)+(b/2)^2
∴R=√{(1/3)(a^2)+(1/4)(b^2)}

お礼

ありがとうございます
△ＡＢＣの二つの辺に三角形がくっついたみたいな形になったんですが…

補足

CH=(2/3)(√3/2)AC=a/√3
R^2=CG^2=CH^2+GH^2=(1/3)(a^2)+(b/2)^2
∴R=√{(1/3)(a^2)+(1/4)(b^2)}

これはなにをしてるんですか？