数学IAです

質問

四角形ABCDは半径1の円に内接し、AB＝√3、∠BCD＝120°、∠CDA＝75°のとき

(1)∠ABCの大きさは(ア)°である
(2)∠CBDの大きさは(イ)°である
(3)CDの長さは(ウ)である
(4)BCの長さは(エ)である
(5)四角形ABCDの面積は(オ)である

この問題の(1)から躓きました
本当に申し訳ないのですが教えてください
おねがいします

回答No.3

gohtraw · ベストアンサー

混乱するといけないのでちゃんと書きます。

（１）
ABの長さが√３なのだから、△ABDに正弦定理を使うと
AB／sin∠BDA＝２　（２というのは△ABDの外接円の半径の二倍）
√３／sin∠BDA＝２
sin∠BDA＝√３／２　なので、∠BDAは６０°　
一方円に内接するABCDの相対する内角の和、例えば
角BCDと角DABの和は１８０°です。よって∠DABは
６０°であり、△ABDは正三角形。

（２）
∠ABCは１８０°から∠CDAを引いたものなので１０５°であり、
∠ABDは６０°（正三角形の内角）なので∠CBDは４５°である。

（３）BDは√３（正三角形の一辺）で、∠BCDは１２０°。
∠DBCは４５°。これで正弦定理を使えばCDの長さが判るはず。

（４）
上記まででBD、BC、∠DBCが判ったのでこれらを余弦定理の式に
入れるとCDが判るはず。

（５）
三角形の二辺の長さと、その間の角が判れば三角形の面積は判ります。
これにより△ABDとBCDの面積をそれぞれ求め、合計すれば
ABCDの面積です。

補足

やはり勘違いではなかったですすいません
でもおかげで(3)まで解けました

(4)はBCを求めるのですが
a二乗＝b二乗＋c二乗－2bc・cosAの式に代入すればいいんですよね？
その場合cosAはcos15ですか？教えていただきたいです

回答No.4

gohtraw

また嘘書いた。鬱。

（４）は

BD^2＝CD^2＋BC＾２－２＊CD＊BC＊cos∠BCD
にBDとCDとcos∠BCDの値を入れる

BCの二次方程式になる。解は二つあるけど
吟味すればいっぽうは除外できる。

お礼

解けました！感激です！ありがとうございましたっ

回答No.2

gohtraw

申し訳ない。勘違いしていたようです。

ABの長さが√３なのだから、△ABDに正弦定理を使うと
√３／sin∠BDA＝２　（２というのは△ABDの外接円の半径の二倍）
sin∠BDA＝√３／２　なので、∠BDAは６０°　よって△ABDは
正三角形。

お礼

すみません早とちりでした補足は無視してください
本当すいません

補足

ありがとうございます(3)までいくことができました

何度もすみませんまた質問なのです。(4)は三角形BCDの余弦定理なのはわかったのですがこの場合
a二乗＝b二乗＋c二乗－2bc・cosAを使うんですよね…？
その場合cosAは15ですか…？

回答No.1

gohtraw

ABCDは円に内接しているのだから、相対する内角の和、例えば
角ABCと角CDAの和は１８０°です。これで（１）が解けますね。

次に、角BCDが１２０°なので、上記と同様にして角DABが６０°
であるとわかります。角DABが６０°ということは、△ABDが正三角形
ということです。これより角ABDが６０°であり、一方角ABCと角CDA
の和は１８０°なので・・・？

（３）は△BCDについて正弦定理を使うのかな。

（４）は△BCDに余弦定理かな。

ここまでくれば、△ABDとBCDの辺の長さも頂角もすべて判って
いるはずなので、面積は出るでしょう。二辺の長さとその間の
角度が判っていれば三角形の面積は計算できるので。

補足

すみません…(1)は∠ABDでした…。
∠ABDはどう求めるのでしょうか？すみません質問ばかりで